Mongen lause (toinen nimi on kolmen pään lause) on Jean d'Alembertin laatima kolmen ympyrän lause. ja Gaspard Monge todennut . Käytetään usein esimerkkinä lauseesta, jonka todistuksessa on hyödyllistä lisätä tilan ulottuvuutta.
Kolmen mielivaltaisen ympyrän kohdalla, joista jokainen ei ole kokonaan toisen sisällä, kunkin ympyräparin yhteisten ulkotangenttien leikkauspisteet ovat samalla linjalla .
Yksinkertaisin todistus käyttää kolmiulotteista analogiaa. [1] Olkoon kolme ympyrää kolmea eri säteistä palloa; ympyrät vastaavat päiväntasaajaa, joka syntyy pallojen keskipisteiden läpi kulkevasta tasosta. Kolme palloa voidaan puristaa yksilöllisesti kahden tason väliin. Kukin pallopari määrittelee kartion, joka koskettaa molempia palloja ulkopuolelta, ja tämän kartion kärki vastaa kahden ulomman tangentin leikkauspistettä, eli samankaltaisuuden ulompaa keskustaa . Koska yksi kartion viiva on kussakin tasossa, kunkin kartion kärjen on sijaittava molemmissa tasoissa ja siten jossain näiden kahden tason leikkauslinjalla. Siksi homoteetin kolme ulkokeskusta ovat kollineaarisia.
Todistus voidaan rakentaa ilman kolmiulotteista analogiaa. Tässä tapauksessa voidaan harkita kolmen homoteetin kokoonpanoa, jotka on keskitetty kunkin ympyräparin yhteisten ulkoisten tangenttien leikkauspisteisiin, joiden alla kukin homoteeteista vie yhden ympyrän toiseen. Tässä tapauksessa näiden kolmen homoteetin kertoimien tulo on yhtä suuri kuin 1 (koska jokaisen homoteetin kerroin on yhtä suuri kuin yhden ympyrän säteen suhde toisen ympyrän säteeseen), eli , kolmen tällaisen homoteetian koostumus on rinnakkaiskäännös. Mutta jos tarkastelemme yhtä näiden kolmen ympyrän keskipisteistä, voimme nähdä, että homoteetioita valmistettaessa se muuttuu itsestään, eli siitä tulee kiinteä piste. Seurauksena on, että kolmen homoteetin kokoonpano on rinnakkaiskäännös kiinteällä pisteellä, joten tämä kokoonpano on identtinen muunnos. Ja kolmen homoteetin keskuksen lauseen mukaan , jos kolmen homoteetin koostumus on identtinen muunnos, niin niiden keskukset sijaitsevat samalla suoralla. Siksi kunkin ympyräparin yhteisten ulkoisten tangenttien leikkauspisteet ovat samalla suoralla.