Jäykkyys silta

Mostovin jäykkyys väittää, että äärellisen tilavuuden hyperbolisen moniston geometria, jonka mitat alkavat kolmesta, on täysin sen perusryhmän määräämä .

Historia

Suljetuille jakoputkille lauseen todisti George Mostov vuonna 1968. Marden ja Prasad yleistäneet rajallisen ulottuvuuden monimuotoisiksi  . Gromov antoi toisen todisteen - perustuen yksinkertaiseen volyymiin .

Ennen tätä Weyl oli osoittanut läheisesti toisiinsa liittyviä lausuntoja. Erityisesti se tosiasia, että vähintään 3:n suuruisen hyperbolisen avaruuden diskreettien isometriaryhmien yhteiskompaktit toimet eivät salli ei-triviaaleja muodonmuutoksia.

Formulaatiot

Geometrinen sanamuoto

Olkoot M ja N täydellisiä hyperbolisia n -ulotteisia äärellisen tilavuuksia, joissa n ≥3. Tällöin mikä tahansa isomorfismi f :  π 1 ( M ) → π 1 ( N ) indusoidaan isometrialla M → N .

Tässä π 1 ( M ) tarkoittaa monisarjan M perusryhmää .

Algebrallinen muotoilu

Olkoot Γ ja Δ n - ulotteisen hyperbolisen avaruuden H , jossa n ≥ 3 , isometriaryhmän G diskreettejä alaryhmiä, joiden tekijäavaruuksilla H /Γ ja H /Δ on äärelliset tilavuudet. Tällöin Γ:n ja Δ:n isomorfismi diskreetteinä ryhminä merkitsee niiden konjugaatiota G :ssä .

Sovellukset

• Hyperbolisen n - moniston M ( n ≥3) äärellisten tilavuuksien isometriaryhmä on äärellinen ja isomorfinen ulkoisten automorfismien ryhmän π 1 ( M ) kanssa.
• Ympyräpakkauslause

Linkit

• Gromov, Michael (1981), Hyperbolic monifolds (Thurstonin ja Jørgensenin mukaan) , Bourbaki Seminar, Voi. 1979/80 , voi. 842, Lecture Notes in Math., Berliini, New York: Springer-Verlag , s. 40–53, ISBN 978-3-540-10292-2 , doi : 10.1007/BFb0089927 
• Marden, Albert (1974), äärellisesti muodostettujen kleinian ryhmien geometria, Annals of Mathematics. Second Series Vol. 99: 383-462, ISSN 0003-486X 
• Mostow, GD (1968), Kvasikonformaaliset kartoitukset n -avaruudessa ja hyperbolisten avaruusmuotojen jäykkyys , Publ. Matematiikka. IHES vol. 34: 53-104 , < http://www.numdam.org/item?id=PMIHES_1968__34__53_0 > 
• Mostow, GD (1973), Paikallisesti symmetristen tilojen vahva jäykkyys , voi. 78, Annals of Mathematics studies, Princeton University Press , ISBN 978-0-691-08136-6 , < https://books.google.com/books?id=xT0SFmrFrWoC > 
• Prasad, Gopal (1973), Q-luokan 1 hilan vahva jäykkyys , Inventiones Mathematicae T. 21: 255-286, ISSN 0020-9910 , DOI 10.1007/BF01418789 
• Spatzier, RJ (1995), Harmonic Analysis in Rigidity Theory, julkaisussa Petersen, Karl E. & Salama, Ibrahim A., Ergodic Theory and its Connection with Harmonic Analysis, Proceedings of the 1993 Alexandria Conference , Cambridge University Press, s. 153–205, ISBN 0-521-45999-0  . (Tarjoaa katsauksen suuresta valikoimasta jäykkyyslauseita, mukaan lukien ne, jotka koskevat Lie-ryhmiä, algebrallisia ryhmiä ja virtausten dynamiikkaa. Sisältää 230 viittausta.)
• Thurston, William (1978–1981), The geometria and topology of 3-manifolds , Princetonin luentomuistiinpanot , < http://www.msri.org/publications/books/gt3m/ >  . (Antaa kaksi todistusta: toinen samanlainen kuin Mostow'n alkuperäinen todistus ja toinen perustuu Gromovin normiin )
• Weil, André (1960), Lie-ryhmien erillisistä alaryhmistä, Annals of Mathematics. Second Series vol. 72: 369-384, ISSN 0003-486X 
• Weil, André (1962), Lie-ryhmien erillisistä alaryhmistä. II, Matematiikan lehdet. Second Series vol. 75: 578-602, ISSN 0003-486X