Poissonin lause

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 26. heinäkuuta 2022 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 2 muokkausta .

Poissonin lause on todennäköisyysteorian lause .

Sanamuoto

Olkoon Bernoulli-kokeiden sarja , jossa on "menestyksen" todennäköisyys, on "onnistumisen" lukumäärä. $p_n$ $\mu _{n}$

Sitten jos

$\lim _{{n\to \infty }}np_{n}=\lambda ;$
$\lambda >0,$

sitten

\lim _{{n\to \infty }}P(\omega :\mu _{n}(\omega )=m)=e^{{-\lambda }}{\cfrac {\lambda ^{m} }{m!}}.

Todiste

Bernoullin kaavaa käyttämällä saamme sen

\lim _{{n\to \infty }}P(\omega :\mu _{n}(\omega )=m)=C_{n}^{m}(p_{n})^{m}( 1-p_{n})^{{nm}}={\cfrac {n!}{m!(nm)!}}{\bigg (}{\cfrac {\lambda }{n}}+o{\ bigg (}{\cfrac {\lambda }{n}}{\bigg )}{\bigg )}^{m}{\bigg (}1-{\cfrac {\lambda }{n}}-o{\ bigg (}{\cfrac {\lambda }{n}}{\bigg )}{\bigg )}^{{nm}}=

={\cfrac {1}{m!)}}{\cfrac {(n-m+1)(n-m+2)\ldots n}{n^{m))}{\bigg (}\lambda + o{\bigg (}\lambda {\bigg )}{\bigg )}^{m}{\bigg (}1-{\cfrac {\lambda }{n))-o{\bigg (}{\ cfrac {\lambda }{n}}{\bigg )}{\bigg )}^{{nm)),

koska

\lim _{{n\to \infty }}np_{n}=\lambda \;\Leftrightarrow \;p_{n}={\cfrac {\lambda }{n}}+o{\bigg (}{\ cfrac {\lambda }{n}}{\bigg )}

klo

\lim _{{n\to \infty }}{\cfrac {o{\bigg (}{\cfrac {\lambda }{n}}{\bigg ))){{\cfrac {\lambda }{n} }}}=0.

Mutta siitä lähtien

$\lim _{{n\to \infty }}{\cfrac {(n-m+1)(n-m+2)\ldots n}{n^{m}}}={\bigg (}\lim _{{n\to \infty }}{\cfrac {(n-m+1)}{n}}{\bigg )}\cdot {\bigg (}\lim _{{n\to \infty }} {\cfrac {(n-m+2)}{n}}{\bigg )}\cdot \ldots \cdot {\bigg (}\lim _{{n\to \infty }}{\cfrac {(n) )}{n}}{\bigg )}=1;$
$\lim _{{n\to \infty }}(\lambda +o(\lambda ))^{m}=\lambda ^{m};$
$\lim _{{n\to \infty }}{\bigg (}1-{\cfrac {\lambda }{n}}-o{\bigg (}{\cfrac {\lambda }{n}}{\ bigg )}{\bigg )}^{{nm}}=e^{{-\lambda }},$

sitten tuloksena oleva tasa-arvo tulee

\lim _{{n\to \infty }}P(\omega :\mu _{n}(\omega )=m)=e^{{-\lambda }}{\cfrac {\lambda ^{m} }{m!}}.

QED