Hopf-Rinow -lause

Hopf-Rinowin lause on differentiaaligeometrian lause , jonka Heinz Hopf ja hänen oppilaansa Willy Rinov ovat todistaneet . Julkaistu viimeksi vuonna 1931 [1] .

Sanamuoto

Polkukytketylle Riemannin monistolle seuraavat lauseet ovat vastaavia: $M$

$M$ on täydellinen (eli Riemannin monisto on täydellinen metrinen avaruus );
jokaiselle pisteelle , eksponentiaalinen kuvaus on määritelty kaikkeen ( missä on tangenttiavaruus pisteessä ); $p\in M$ $\exp _{p}:T_{p}\to M$ $T_{p}$ $T_{p}$ $M$ $s$
jokainen rajattu ja suljettu joukko on kompakti . $M$

Mitkä tahansa kaksi pistettä ja lineaarisesti yhdistetyssä täydellisessä Riemannin monistossa voidaan yhdistää geodeettisella pituudella, joka on yhtä suuri kuin etäisyys välillä ja ; $s$ $q$ $s$ $q$
Mitä tahansa geodeettista polkuyhteydessä olevaa täydellistä Riemanni-jakoputkea voidaan jatkaa loputtomiin.

Hopf-Rinow-lause pätee avaruuksiin, joissa on sisäinen metriikka , ei välttämättä Riemannilainen (esimerkiksi Finsler ) [2] : jos on paikallisesti kompakti täydellinen metriikka, jossa on sisäinen metriikka , niin mikä tahansa suljettu rajallinen joukko on kompakti. Erityisesti mitkä tahansa kaksi pistettä avaruudessa voidaan yhdistää lyhimmällä tiellä. [3] $(X,\rho)$ $(X,\rho)$ $X$
- Tämä väite on yleistetty epäsymmetristen mittareiden tapaukseen. [neljä]

Hopf-Rinow-lause ei pidä paikkaansa äärettömän ulottuvuuden tapauksessa [5] , samoin kuin pseudo-Riemannin monistojen tapauksessa [6] .

↑ Hopf, H.; Rinow, W. Ueber den Begriff der vollständigen differentialgeometrischen Fläche (saksa) // [Commentarii Mathematici Helvetici : magazin. - 1931. - Bd. 3 , Nr. 1 . - S. 209-225 . - doi : 10.1007/BF01601813 .
↑ Menger, Karl. "Untersuchungen über allgemeine Metrik." Mathematische Annalen 100 (1925); 105 (1930).
↑ Burago D.Yu., Burago Yu.D., Ivanov S.V. Metrinen geometrian kurssi. - 2004. - ISBN 5-93972-300-4 . lause 2.5.28.
↑ Cohn-Vossen, Stefan. "Existenz Kurzester Wege." Compositio Mathematica 3 (1936): 441-452; käännetty julkaisussa Cohn-Vossen, S. E. "On the Existence of Shortest Paths." Muutamia kysymyksiä differentiaaligeometriasta yleensä. Moskova: Fizmatgiz (1959): 288-303.
↑ Atkin, CJ (1975), Hopf–Rinow-lause on väärä äärettömässä ulottuvuudessa , The Bulletin of the London Mathematical Society, osa 7 (3): 261–266, doi : 10.1112/blms/7.3.261 , < http: //blms.oxfordjournals.org/cgi/reprint/7/3/261.pdf > .
↑ O'Neill, Barrett (1983), Semi-Riemannian Geometry With Applications to Relativity , voi. 103, Pure and Applied Mathematics, Academic Press, s. 193, ISBN 9780080570570 , < https://books.google.com/books?id=CGk1eRSjFIIC&pg=PA193 > Arkistoitu 14. toukokuuta 2021 Wayback Machinessa .

Gromol D., Klingenberg W., Meyer W., Riemannilainen geometria yleisesti , käänn. saksasta, M., 1971;
Cohn-Vossen, Joitakin ongelmia differentiaaligeometriassa yleisesti , Moskova, 1959.
V. A. Sharafutdinov. Luennot. Luku 5: Riemannin jakoputket