Sekvenssitiheys

Sekvenssitiheys on yleisen additiivisen lukuteorian käsite , joka tutkii yleisen muodon kokonaislukujonojen yhteenlaskulakeja. Jakson tiheys on mitta siitä, kuinka suuri osa kaikkien luonnollisten lukujen sarjasta kuuluu tiettyyn ei-negatiivisten kokonaislukujen sarjaan . Sekvenssitiheyden käsite viittaa tiheyteen , jonka Schnirelmann esitteli vuonna 1930 (tästä termin englanninkielinen nimi - Schnirelmann density) sekvenssille A, nimittäin: $A=\{a_{i}\}$ $0=a_{0}<a_{1}<a_{2}<\dots$ $d(A)$

d(A)=\inf _{n\in \mathbb {Z} _{+))(\pi _{A}(n)-1)/n

missä on sekvenssin jäsenten lukumäärä enintään . $\pi _{A}(n)$ $A$ $n$

Aiheeseen liittyvät määritelmät

Antaa olla aritmeettinen summa sarjoja ja , Eli joukko . $A+B$ $A=\{a_{i}\}$ $B=\{b_{i}\}$ ${\displaystyle A+B=\{c\in \mathbb {Z} _{+}|c=a+b,a\in A,b\in B\))$

Jos he uskovat , samoin jne. $A=B$ $2A=A+A$ $3A=2A+A$

Jos , niin sitä kutsutaan kertaluvun perustaksi . ${\displaystyle nA=\mathbb {Z} _{+))$ $A$ $n$

Ominaisuudet

Tiheys silloin ja vain, jos se osuu yhteen kaikkien ei-negatiivisten kokonaislukujen joukon kanssa. $d(A)=1$ $A$ $\Z_+$
Shnirelmanin epätasa-arvo

{\näyttötyyli d(A+B)\geq d(A)+d(B)-d(A)d(B)}

Mann-Dysonin epätasa-arvo

{\näyttötyyli d(A+B)\geq \min\{d(A)+d(B),1\))

Shnirelmanin epäyhtälöstä seuraa, että mikä tahansa positiivisen tiheyden sekvenssi on äärellisen järjestyksen perusta. Tämän tosiasian soveltaminen additiivisiin ongelmiin, joissa nollatiheyksiset sekvenssit usein lasketaan yhteen, suoritetaan konstruoimalla ennalta uusia sekvenssejä, joilla on positiivinen tiheys annetuista sekvensseistä. Esimerkiksi seulamenetelmien avulla on todistettu, että jonolla , joka kulkee alkulukujen läpi , on positiivinen tiheys. Tämä viittaa Shnirelmanin lauseeseen : on olemassa sellainen kokonaisluku , että mikä tahansa luonnollinen luku on korkeintaan alkulukujen summa. Tämä lause antaa ratkaisun ns. heikentynyt Goldbach-ongelma . $\{p\}+\{p\}$ $s$ $c_{0}>0$ $c_{0}$

Muunnelmia ja yleistyksiä

Sekvenssitiheyden käsitteen muunnelma on asymptoottisen tiheyden käsite , jonka erikoistapaus on luonnollinen tiheys .

Sekvenssitiheyden käsite on yleistetty muihin numeerisiin sarjoihin kuin luonnollisiin sarjoihin, esimerkiksi algebrallisten lukukenttien kokonaislukujonoihin. Tuloksena on mahdollista tutkia algebrallisten kenttien perusteita.