Additiivinen lukuteoria

Additiivinen lukuteoria on lukuteorian haara , joka syntyi tutkittaessa ongelmia kokonaislukujen jakamisesta tietyn muodon termeiksi [1] (esimerkiksi alkuluvuiksi , kiharalukuiksi , e-potenssiiksi jne.).

Klassisista ongelmista, joiden tutkiminen loi perustan additiiviselle lukuteorialle, voidaan mainita seuraavat [1] .

Näiden ongelmien ratkaisua vaikeuttaa se, että formulaatioihin osallistuu samanaikaisesti useita perusoperaatioita luonnollisilla luvuilla :

Lukujen additiivisten ja kertovien ominaisuuksien välinen suhde on äärimmäisen monimutkainen, ja tämä monimutkaisuus on syynä monien lukuteorian ongelmien ratkaisemiseen [2] .

Nykyaikainen additiivinen lukuteoria sisältää laajan joukon ongelmia Abelin ryhmien ja kommutatiivisten puoliryhmien tutkimuksessa summauksen operaatiolla [3] . Additiivinen lukuteoria liittyy läheisesti kombinatoriseen lukuteoriaan (erityisesti additiiviseen kombinatoriikkaan ) [4] ja numeroiden geometriaan , se käyttää analyyttisiä , algebrallisia ja todennäköisyysmenetelmiä . Ratkaisumenetelmistä riippuen additiiviset tehtävät ovat olennainen osa lukuteorian muita osia - analyyttinen lukuteoria , algebrallinen lukuteoria , todennäköisyyslukuteoria [1] .

Historia

Ensimmäiset systemaattiset tulokset additiivinen lukuteoria tuli Leonhard Eulerilta , joka julkaisi vuonna 1748 tutkimuksen ( potenssisarjojen avulla ) luonnollisten lukujen laajentumisesta luonnollisiksi termeiksi; erityisesti hän pohti ongelmaa luvun hajottamisesta tiettyyn määrään termejä ja todisti lauseen viisikulmaisista luvuista [5] . Samaan aikaan syntyi kaksi klassista additiivityyppistä ongelmaa: Goldbach-ongelma ja Waring-ongelma , ja myöhemmin ilmestyi kymmeniä uusia ongelmia.

Yleiset työkalut, kuten Hardy-Littlewoodin ympyrämenetelmä , seulamenetelmä [6] ja trigonometrinen summamenetelmä, ovat osoittautuneet hyödyllisiksi monien näiden ongelmien ratkaisemiseksi . Hilbert osoitti [7] , että mille tahansa kokonaisluvulle mikä tahansa luonnollinen luku on summa rajoitetun määrän termejä potenssiin . Lev Shnirelman esitteli vuonna 1930 luonnollisten lukujen sarjan tiheyden käsitteen , mikä mahdollisti merkittävän edistyksen Goldbachin ongelman ratkaisemisessa ja yleisen Waring-lauseen todistamisessa [8] .

Grigory Freiman vuonna 1964 osoittautui tärkeäksi lauseeksi additiivisen alalta .

Nykyinen tila

Osajoukkoa kutsutaan äärellisen kertaluvun (asymptoottiseksi) additiiviseksi kantaksi [9] , jos mikä tahansa riittävän suuri luonnollinen luku voidaan kirjoittaa enintään :n alkioiden summaksi . Esimerkiksi luonnolliset luvut ovat itse kertaluvun 1 additiivinen kanta, koska jokainen luonnollinen luku on triviaalisti enintään yhden luonnollisen luvun summa. Vähemmän triviaali on Lagrangen neljän neliön summan lause , joka osoitti, että neliölukujen joukko on neljännen kertaluvun additiivinen kanta. Toinen hyvin ei-triviaali ja laajalti tunnettu tulos tähän suuntaan on Vinogradovin lause, jonka mukaan mikä tahansa riittävän suuri pariton luonnollinen luku voidaan esittää kolmen alkuluvun summana [10] .

Monet tämän alan nykyaikaiset tutkimukset koskevat äärellisen järjestyksen yleisten asymptoottisten perusteiden ominaisuuksia. Esimerkiksi joukkoa kutsutaan tilauksen minimaaliseksi asymptoottiseksi perustaksi , jos se on järjestyksen asymptoottinen perusta , mutta mikään oikea osajoukko ei ole järjestyksen asymptoottinen perusta . Todettiin [11] , että minimaaliset asymptoottiset järjestyskannat ovat olemassa mille tahansa :lle , ja on myös asymptoottisia järjestyskantoja , jotka eivät sisällä minimaalisia asymptoottisia järjestyskantoja .

Pohditaan myös ongelmaa - kuinka paljon on mahdollista vähentää esitysten määrää asymptoottisen perustan elementtien summana . Erdős-Turan-oletus (1941) [12] , jota ei ole vielä todistettu, on omistettu tälle .

Katso myös

Muistiinpanot

  1. ↑ 1 2 3 Mathematical Encyclopedia, 1977 , s. 91.
  2. ↑ Matematiikka, sen sisältö, menetelmät ja merkitys (kolmessa osassa). - 1956. - T. 2. - S. 225. - 397 s.
  3. ↑ Mann, 1976 .
  4. ↑ Tao, 2006 .
  5. ↑ Eulerin viisikulmalauseesta Arkistoitu 31. tammikuuta 2020 Wayback Machinessa MathPagesissa .
  6. ↑ Mathematical Encyclopedia, 1984 , s. 979.
  7. ↑ Karatsuba A. A. Hilbert-Kamken ongelma analyyttisessä lukuteoriassa . Haettu: 1.12.2020.
  8. ↑ Matematiikka Neuvostoliitossa kolmekymmentä vuotta. 1917-1947 / Toim. A. G. Kurosh , A. I. Markushevich , P. K. Rashevsky . - M. - L .: Gostekhizdat , 1948. - S. 56-57. — 1044 s.
  9. ↑ Bell, Jason; Hare, Kathryn & Shallit, Jeffrey (2018), Milloin automaattinen asetus on lisäysperuste? , Proceedings of the American Mathematical Society , Series B osa 5: 50-63 , DOI 10.1090/bproc/37 
  10. ↑ Karatsuba A. A. Euler ja lukuteoria // Nykyaikaiset matematiikan ongelmat. Ongelma. 11. - M. : MIAN , 2008. - S. 19-37. – 72 s. — ISBN 5-98419-027-3 .
  11. ↑ Nathanson MB Minimaaliset emäkset ja maksimaaliset ei-emäkset additiivisessa lukuteoriassa // J. Number Theory. - 1974. - Voi. 6, ei. 4. - P. 324-333.
  12. ↑ Grekos G., Haddad L., Helou C., Pihko J. Erdős–Turán-oletuksesta // J. Number Theory. - 2003. - Voi. 102, nro. 2. - s. 339-352.

Kirjallisuus

Linkit