Waringin ongelma

Waringin ongelma on lukuteoreettinen lause , jonka mukaan jokaisella kokonaisluvulla on sellainen luku , että mikä tahansa luonnollinen luku voidaan esittää seuraavasti: $n>1$ $k=k(n)$ $N$

x_1^n+x_2^n+\ldots+x_k^n=N\quad

ei-negatiivisilla kokonaisluvuilla . $x_1,\;x_2,\;\ldots,\;x_k$

Edward Waringin vuonna 1770 ehdottama olettamus [1] , jonka Hilbert todisti vuonna 1909 . Jo todistuksen jälkeen tehtiin merkittävä määrä sekä pääongelman todistamiseen liittyviä että eri vaihtoehtoja ja yleistyksiä sisältäviä tutkimuksia, joissa saatiin merkittäviä tuloksia ja kehitettiin tärkeitä menetelmiä; Mathematical Subject Classificationissa kolmannen tason erillinen osa on omistettu Waringin ongelmalle ja siihen liittyville tutkimuksille [2] .

Päätulokset

1900-luvulle asti ongelma pystyttiin ratkaisemaan vain erikoistapauksissa, esimerkiksi Lagrangen lause neljän neliön summasta määritettiin ongelmalle tapauksessa . $k = 4$ $n = 2$

Ensimmäisen todisteen hypoteesin paikkansapitävyydestä antoi vuonna 1909 Hilbert [3] , se oli erittäin laaja ja perustui monimutkaisiin analyyttisiin rakenteisiin, mukaan lukien viisinkertaiset integraalit.

Vuonna 1920 Hardy ja Littlewood antoivat uuden todisteen samalle lauseelle , jotka kehittivät tähän erityisen ympyrämenetelmän [4] . He esittelivät kaksi toimintoa - ja ; on pienin sellainen, että Waringin ongelma on ratkaistavissa ; on pienin sellainen, että Waringin ongelma on ratkaistavissa . (On selvää, että .) Hardy ja Littlewood antoivat alarajan , joka järjestyksessä ja vakiona ei yleensä ole parantunut 2010-luvulta lähtien, ja ylärajan, jota on sittemmin parannettu radikaalisti. Tätä toimintoa on sittemmin kutsuttu Hardy-funktioksi. He saivat myös asymptoottisen kaavan Waringin ongelman ratkaisujen lukumäärälle. $g(n)$ $G(n)$ $g(n)$ $k$ $N\geqslant 1$ $G(n)$ $k$ $N\geqslant N_0(n)$ $G(n)\leqslant g(n)$ $G(n)$ $n<G(n)$

Näin ollen Waringin ongelman tutkimuksen tuloksena on kehitetty tehokkaita analyyttisiä menetelmiä. Vuonna 1942 Linnik kuitenkin löysi peruslauseeseen perustuvan todisteen alkeismenetelmiin [5] .

Toiminto on tiedossa. Perusfunktiota varten on saatu useita ylä- ja alarajoja, mutta sen erityisarvoja ei tunneta edes pienille . $g(n)$ $G(n)$ $n$

Funktio g ( n )

Johann Euler , Leonhard Eulerin poika , ehdotti noin vuonna 1772 [6] , että:

g(n) = 2^n+[(3/2)^n]-2

1940-luvulla Leonard Dixon , Pillai ( eng. Subbayya Sivasankaranarayana Pillai ), Rubugundai ( eng. RK Rubugunday ) ja Niven [7] osoittivat Mahlerin ( saksa Kurt Mahler ) [8] tuloksen huomioon ottaen , että tämä on totta paitsi arvojen lopullinen määrä, joka on suurempi kuin 471 600 000 . Oletuksena on, että tämä kaava pätee kaikille luonnollisille luvuille. $n$

Useita ensimmäisiä arvoja : $g(n)$

1, 4, 9, 19, 37, 73, 143, 279, 548, 1079, 2132, 4223, 8384, 16673, 33203, 66190, 132055, … [9]

On huomionarvoista, että esimerkiksi vain numeroita 23 ja 239 ei voida esittää kahdeksan kuution summalla. $n = 3$

Funktio G ( n )

Vuonna 1924 Vinogradov sovelsi trigonometristen summien menetelmäään Waringin ongelmaan [10] , mikä ei ainoastaan yksinkertaistanut todistetta suuresti, vaan myös avasi tien perustavanlaatuiselle parannukselle arviossa . Useiden parannusten jälkeen hän osoitti vuonna 1959, että: $G(n)$

G(n)<2n\log n+4n\log\log n+2n\log\log\log n+13n

Karatsuba paransi tätä estimaattia vuonna 1985 soveltamalla hänen rakentamaansa Hardy-Littlewood-Ramanujan-Vinogradov- ympyrämenetelmän -adic-muotoa trigonometristen summien estimaateihin, joissa summaus suoritetaan lukujen perusteella pienillä alkujakajilla [11] . osoitteessa : $s$ $n\geqslant 400$

G(n)<2n\log n+2n\log\log n+12n

Wooley paransi arviota myöhemmin , ensin vuonna 1992 [12] , sitten vuonna 1995 [13] :

G(n)\leqslant n\log n+n\log \log n+2+O(n\log \log n/\log n)

Vaughan ja Wooley kirjoittivat Waringin ongelmasta pitkän katsauksen [14] , jossa Karatsuban vuonna 1985 julkaistu tulos liittyy Vaughanin vuoden 1989 julkaisuun [15] .

Rajat [14]
4 ≤ G (2) ≤ 4
4 ≤ G (3) ≤ 7
16 ≤ G (4) ≤ 16
6 ≤ G (5) ≤ 17
9 ≤ G (6) ≤ 24
8 ≤ G (7) ≤ 33
32 ≤ G (8) ≤ 42
13 ≤ G (9) ≤ 50
12 ≤ G (10) ≤ 59
12 ≤ G (11) ≤ 67
16 ≤ G (12) ≤ 76
14 ≤ G (13) ≤ 84
15 ≤ G (14) ≤ 92
16 ≤ G (15) ≤ 100
64 ≤ G (16) ≤ 109
18 ≤ G (17) ≤ 117
27 ≤ G (18) ≤ 125
20 ≤ G (19) ≤ 134
25 ≤ G (20) ≤ 142

Itse asiassa arvo tunnetaan vain kahdelle argumentin arvolle, nimittäin ja . $G(n)$ $G(2) = 4$ $G(4) = 16$

Neliöiden summa: G(2)

Lagrangen lauseen mukaan mikä tahansa luonnollinen luku voidaan esittää neljän kokonaisluvun neliön summana. On myös helppo osoittaa, että lukuja, jotka antavat jäännöksen 7, kun se jaetaan 8:lla, ei voida esittää alle 4 neliön summana. Siten . $G(2) = 4$

Kuutioiden summa: G(3)

Se on helppo todistaa . Tämä johtuu siitä tosiasiasta, että kuutiot ovat aina kongruentteja 0, 1 tai −1 modulo 9:n kanssa. $G(3)\geqslant 4$

Linnik todisti sen vuonna 1943 [5] . Tietokonekokeet viittaavat siihen, että tätä arviota voidaan parantaa 4:ään (ts . ), koska luvut ovat pienempiä kuin 1,3⋅10 9 , viimeinen kuusi kuutiota vaativa luku on 1 290 740 ja N:n ja 2N:n välisten lukujen määrä, jotka vaativat viisi kuutiota, putoaa N:n lisääntyessä riittävän suurella nopeudella [16] . Suurin tunnettu luku, jota ei välttämättä esitetä neljän kuution summana, on 7373170279850 , ja on syytä olettaa, että tämä on suurin tällainen luku [17] . Mikä tahansa ei-negatiivinen luku voidaan esittää 9 kuutiona , ja oletetaan, että suurimmat luvut, jotka vaativat vähintään 9, 8, 7, 6 ja 5 kuutiota, ovat vastaavasti 239, 454, 8042, 1 290 740 ja 7 373 170 27 [ 1,8 ] . , ja niiden lukumäärä on vastaavasti 2, 17, 138, 4060, 113 936 676 [18] . $G(3)\leqslant 7$ $G(3)=4$

Neljännen potenssin summa: G(4)

Tunnettu arvo on 16. Davenport [19] osoitti tämän tuloksen 1930-luvulla . $G(4)$

Numerot, kuten 31 16 n , vaativat vähintään kuusitoista neljättä potenssia.
Numero 79 vaatii 19 neljättä tehoa.
Numero 13 792 vaatii 17 neljättä potenssia.

Mikä tahansa luku, joka on suurempi kuin 13 792, voidaan esittää enintään kuudentoista neljännen potenssin summana. Tämä todistettiin alle 10 245:n numeroille vuonna 2000 [20] ja muille numeroille vuonna 2005 [21] parantamalla Davenportin tulosta.

Viidesosien summa: G(5)

617 597 724 on viimeinen alle 1,3⋅10 9 vaativa luku , joka vaatisi 10 viidesosaa, ja 51 033 617 on viimeinen alle 1,3⋅10 9 , joka vaatisi 11. Tietokonekokeiden perusteella on syytä uskoa, että . $G(5)<G(4)$

Tarkkojen arvojen lisäksi kysymys Waringin ongelman ratkaisujen määrästä tietyille parametreille ja rajoituksille jää avoimeksi. Tälle aiheelle omistetuissa teoksissa muodon formulaatiot ovat mahdollisia: "Waringin ongelma 9 kuutiolle, joissa on lähes yhtäläiset termit" [22] . $G(n)$

Yleistykset

Waring-Goldbach-ongelma

Waring-Goldbach-ongelma herättää kysymyksen kokonaisluvun edustavuudesta alkulukujen potenssien summana, analogisesti Waringin ongelman ja Goldbachin ongelman kanssa .

Hua Lo-ken sai Hardy-Littlewoodin ja Vinogradovin parannettuja menetelmiä käyttäen ylärajan alkutermien lukumäärälle [23] . $O(n^2\log n)$

Moskovan valtionyliopiston mekaniikka-matematiikan tiedekunnan virallisilla verkkosivuilla todetaan vuodesta 2014 lähtien, että Chubarikov [24] löysi täydellisen ratkaisun Waring-Goldbach-ongelmaan vuonna 2009 , mutta ainoassa artikkelissa 2009 [ 24] 25] , annetaan ongelman ratkaisu, joka on vain jossain mielessä samanlainen kuin Waring-Goldbachin ongelma [26] .

Kokonaisluvun esittämisen tarkkuus potenssien summana

Waringin ongelman yleistyksenä voidaan pitää kysymystä kokonaisluvun esittämisen tarkkuudesta kokonaislukujen potenssien summana, jota ei ole ratkaistu edes tasolle, joka on yhtä suuri kuin . $2$

Kaikki luonnolliset luvut, lukuun ottamatta muodon lukuja , voidaan esittää muodossa . Herää luonnollisesti kysymys: kuinka lähelle annettua lukua pääsee kahden kokonaisluvun summalla? Koska tämän yhtälön oikealla puolella on myös neliöjuuren järjestys , yksi neliö voi lähestyä etäisyyttä, jonka suuruus on . Siksi kahden neliön summaa voidaan lähestyä etäisyydelle järjestyksessä . Voitko päästä lähemmäksi? Eulerin ajoista lähtien tämä ongelma on ollut "ilman liikettä", vaikka on olemassa hypoteesi, että $4^m(8n+7),\;m,\;n=0,\;1,\;2,\;\lpistettä,$ $x^2+y^2+z^2$ $N$ $(n+1)^2-n^2=2n+1$ $n^{2}$ $N$ $N^{1/2}$ $N$ $N^{1/4}$

\min_{x,\;y\in Z}|Nx^2-y^2|\leqslant N^\varepsilon,

missä on joku ,. Ei ole mahdollista korvata edellisessä argumentissa mielivaltaisen pienellä kiinteällä , ja tämä ensi silmäyksellä yksinkertainen tehtävä ei ole edennyt 1700-luvun puolivälin jälkeen [27] . $\varepsilon>0,\;\varepsilon$ $N\geqslant N_1(\varepsilon)$ $1/4$ $1/4-c$ $c>0$

Waringin ongelman moniulotteinen analogi

Waring-ongelmaa koskevissa lisätutkimuksissaan Karatsuba sai [28] [29] kaksiulotteisen yleistyksen tästä ongelmasta. Tarkastellaan seuraavaa yhtälöjärjestelmää:

x_1^{ni}y_1^i+\ldots+x_k^{ni}y_k^i=N_i,\quad i=0,\;1,\;\ldots,\;n

jossa annetaan positiivisia kokonaislukuja, joilla on sama kasvujärjestys, , ja jotka ovat tuntemattomia, mutta myös positiivisia kokonaislukuja. Kaksiulotteisen yleistyksen mukaan tämä järjestelmä on ratkaistavissa, jos , ja jos , niin on olemassa sellaisia , että järjestelmällä ei ole ratkaisuja. $N_{i}$ $N_0\to+\infty$ $x_{\varkappa},\;y_{\varkappa}$ $k>cn^2\log n$ $k<c_1n^2$ $N_{i}$

Aiheeseen liittyvät tehtävät

Diofantiiniyhtälöiden teoriassa lähellä Waringin ongelmaa ovat ongelmat esittää luonnollinen luku polynomin arvojen summana yhdessä muuttujassa ja homogeenisen polynomin arvojen summana useissa muuttujissa. Tiedetään, että mikä tahansa luonnollinen luku voidaan esittää kolmen kolmioluvun summana , ja kaikki riittävän suuret parittomat kokonaisluvut voidaan esittää Ramanujanin kolmiterminisellä neliömuodolla . Lagrangen neljän neliön lauseen ja Legendren kolmen neliön lauseen mukaan molemmat vaativat vähintään neljän neliön summan. $T_{n}={n+1 \choose 2}$ ${\displaystyle x^{2}+y^{2}+10z^{2))$

Tarkempia ongelmia voidaan kutsua myös Waringin ongelmaksi tieteellisissä artikkeleissa [30] .

Muistiinpanot

↑ Waring E. Meditationes algebraicae. - Cambridge, 1770.
↑ 11P05 Waringin ongelma ja variantit // Mathematical Subject Classification, 2010 Arkistoitu 6. kesäkuuta 2014 Wayback Machinessa
↑ Hilbert D. Beweis für die Darstellbarkeit der ganzen Zahlen durch eine feste Anzahl n -ter Potenzen (Waringsches Problem) // Mathematische Annalen, 67 , sivut 281-300 (1909)
↑ Hardy GH, Littlewood JE // Nachr. Acad. Wiss. Gettingen Math.-Phys. Kl., 1920. s. 33-54. IV: Matematiikka. Z., 1922, nro 12, s. 161-188.
↑ 1 2 Linnik Yu. V. Waring-tehtävän alkeisratkaisu Shnirelmanin menetelmällä // Math. Sb., 1943, osa 12, nro 54, s. 218-230.
↑ L. Euler Opera postuma (1), 203-204 (1862)
↑ Niven, Ivan M. Ratkaisematon tapaus Waring-ongelmasta // American Journal of Mathematics : Journal. - The Johns Hopkins University Press, 1944. - Voi. 66 , nro. 1 . - s. 137-143 . - doi : 10.2307/2371901 . — .
↑ Mahler, K. Rationaaliluvun II potenssien murto-osista // Mathematika : päiväkirja. - 1957. - Voi. 4 . - s. 122-124 .
↑ OEIS - sekvenssi A002804 _
↑ Vinogradov I. M. Kysymykseen G ( n ) ylärajasta // Izv. Neuvostoliiton tiedeakatemia. Ser. mat., 1959, osa 23, nro 5, s. 637-642.
↑ Karatsuba, A. A. Funktiosta G ( n ) Waring-ongelmassa // Izvestiya RAN. Matemaattinen sarja. . - 1985. - Nro 49: 5 . - S. 935-947 . (Venäjän kieli)
↑ Wooley TD Suuria parannuksia Waringin ongelmaan // Ann. matematiikasta. 135 (1992), 131-164.
↑ Wooley TD Uusia arvioita tasaisille Weyl-summille // J. London Math. soc. (2) 51 (1995), 1-13.
↑ 1 2 Vaughan RC, Wooley TD Waringin ongelma: Tutkimusnumeroteoria vuosituhannelle (määrittelemätön) . – A. K. Peters, 2002. - T. III. - S. 301-340. — ISBN 978-1-56881-152-9 .
↑ Vaughan RC Uusi iteratiivinen menetelmä Waringin ongelmassa // Acta Math. 162 (1989), 1-71.
↑ Nathanson (1996 , s. 71)
↑ Deshouillers, Jean-Marc; Hennecart, Francois; Landreau, Bernard; I. Gusti Putu Purnaba, Liite by. 7373170279850 // Laskennan matematiikka : päiväkirja. - 2000. - Voi. 69 , ei. 229 . - s. 421-439 . - doi : 10.1090/S0025-5718-99-01116-3 .
↑ 1 2 Władysław Narkiewicz. Rationaalinen lukuteoria 1900-luvulla: PNT:stä FLT:hen . — Springer Science & Business Media, 2011-09-02. — 659 s. — ISBN 9780857295323 .
↑ Davenport H. // Ann. of Math., 1939, nro 40, s. 731-747
↑ Deshouillers, Jean-Marc; Hennecart, Francois; Landreau, Bernard. Waringin ongelma kuudelletoista bikvadraatille - numeeriset tulokset (neopr.) // Journal de théorie des nombres de Bordeaux. - 2000. - T. 12 . - S. 411-422 . doi : 10.5802 / jtnb.287 .
↑ JM Deshouillers ja K Kawada ja TD Wooley. Kuudentoista biquadraten summasta (Mémoires de la Société Mathématique de France 100 ) // Société Mathématique de France. – 2005.
↑ Mirzoabdugafurov K. I. Waring-ongelma 9 kuutiolle lähes yhtäläisin ehdoin Arkistoitu 6. kesäkuuta 2014 Wayback Machinessa . – Väitös… fysiikan ja matemaattisten tieteiden kandidaatti.
↑ Hua Lo Keng Alkulukujen additiivinen teoria // Translations of Mathematical Monographs, 13 , American Mathematical Society, Providence, RI, 1965, xiii+190 s.
↑ Moskovan valtionyliopiston mekaniikan ja matematiikan tiedekunnan vt. dekaani, matematiikan ja tietokoneanalyysimenetelmien osaston johtaja, professori Vladimir Nikolajevitš Chubarikov . Käyttöpäivä: 31. lokakuuta 2014. Arkistoitu alkuperäisestä 1. marraskuuta 2014. (määrätön)
↑ Chubarikov V. N. Waring-Goldbach-ongelmasta // Tiedeakatemian raportit. - 2009. T. 427, nro 1, s. 24-27
↑ Arvostelu: Zbl 1220.11128
↑ Moderni. prob. Mat., 2008, numero 11, s. 22
↑ Arkhipov G. I., Karatsuba A. A. Waring-ongelman moniulotteinen analogi (määrittämätön) // Dokl. Neuvostoliiton tiedeakatemia. - 1987. - Nro 295:3 . - S. 521-523 .
↑ Karatsuba AA Waringin ongelma useissa ulottuvuuksissa (määrittämätön) // Matematiikka. Forschungs, Oberwolfach, Tagungsbericht. - 1988. - Nro 42 . - s. 5-6 .
↑ Waringin ongelmasta kolmiosaiselle neliömuodolle ja mielivaltaiselle parilliselle asteelle

Kirjallisuus

Matemaattinen tietosanakirja . - M . : "Pöllöt. tietosanakirja" , 1988. - S. 847 .
Analyyttisen lukuteorian perusmenetelmät. - M .: Fizmatgiz, 1962. - S. 272.
Nathanson, Melvyn B. Additive Number Theory: The Classical Bases . - Springer-Verlag , 1996. - Voi. 164. - ( Matematiikan tutkinnon tekstit ). — ISBN 0-387-94656-X .
A. Bufetov, A. Ya. Kanel . Uusi perusratkaisu Waringin ongelmaan. - Säätiö. ja appl. Mat., 3:4 (1997), 1239–1252
B. I. Segal, Trigonometriset summat ja jotkin niiden sovellukset lukuteoriaan - sisältää täydellisen Hardy-Littlewoodin menetelmän esittelyn venäjäksi

Sanakirjat ja tietosanakirjat	Suuri katalaani Britannica (verkossa)