Stolzin lause

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 11. elokuuta 2021 tarkistetusta versiosta . vahvistus vaatii 1 muokkauksen .

Stolzin lause on matemaattisen analyysin lausunto , joka auttaa joissakin tapauksissa löytämään reaalilukujen sarjan rajan . Lause on nimetty itävaltalaisen matemaatikon Otto Stolzin mukaan, joka julkaisi sen todisteen vuonna 1885 [1] . Stolzin lause on luonteeltaan L'Hôpitalin säännön diskreetti analogi .

Sanamuoto

Olkoon ja kaksi reaalilukujen sarjaa, lisäksi positiivisia, rajoittamattomia ja tiukasti kasvavia (ainakin jostain termistä alkaen). Sitten jos on raja $a_n$ $b_n$ $b_n$

\lim \limits _{{n\to \infty }}{\frac {a_{n}-a_{{n-1}}}{b_{n}-b_{{n-1}}}}

silloin on raja

\lim \limits _{{n\to \infty }}{\frac {a_{n}}{b_{n}}}

ja nämä rajat ovat samat.

Todiste

Alla on Fikhtengoltsin [2] mukainen todistus, toinen todiste on Arkhipovin, Sadovnichyn ja Chubarikovin kirjassa [3] .

Oletetaan ensin, että raja on yhtä suuri kuin äärellinen luku , sitten millä tahansa tiedolla on sellainen luku , että for tapahtuu: $L$ $\varepsilon > 0$ $N>0$ $n>N$

L-{\frac {\varepsilon }{2}}<{\frac {a_{n}-a_{{n-1}}}{b_{n}-b_{{n-1}}}}<L+ {\frac {\varepsilon }{2))

Joten millä tahansa, kaikki murtoluvut ovat: $n>N$

{\frac {a_{{N+1}}-a_{N}}{b_{{N+1}}-b_{N}}},{\frac {a_{{N+2}}-a_{ {N+1}}}{b_{{N+2}}-b_{{N+1}}}},...,{\frac {a_{n}-a_{{n-1}}} {b_{n}-b_{{n-1}}}}

olla näiden rajojen välissä. Koska näiden murtolukujen nimittäjät ovat positiivisia (johtuen tiukasti kasvavasta sekvenssistä ), niin mediaantin ominaisuuden mukaan murto-osa sisältyy myös samojen rajojen väliin: $b_n$

{\frac {a_{n}-a_{N}}{b_{n}-b_{N}}}

jonka osoittaja on edellä kirjoitettujen murtolukujen osoittajien summa ja nimittäjä on kaikkien nimittäjien summa. Eli osoitteessa : $n>N$

\left|{\frac {a_{n}-a_{N}}{b_{n}-b_{N}}}-L\right|<{\frac {\varepsilon }{2}}

Harkitse nyt seuraavaa henkilöllisyyttä (todennettavissa suoraan):

{\frac {a_{n}}{b_{n}}}-L={\frac {a_{N}-Lb_{N}}{b_{n}}}+\left(1-{\frac { b_{N}}{b_{n}}}\oikea)\vasen({\frac {a_{n}-a_{N}}{b_{n}-b_{N}}}-L\oikea)

mistä meillä on

\left|{\frac {a_{n}}{b_{n}}}-L\right|\leq \left|{\frac {a_{N}-Lb_{N}}{b_{n}}} \right|+\left|{\frac {a_{n}-a_{N}}{b_{n}-b_{N}}}-L\oikea|

Toisesta termistä at tulee pienempi kuin , ensimmäisestä termistä tulee myös pienempi kuin , at , jossa on jokin riittävän suuri luku, koska . Jos otamme , niin meillä on $n>N$ ${\frac {\varepsilon }{2))$ ${\frac {\varepsilon }{2))$ $n>M$ $M$ $b_{n}\to +\infty$ $M>N$ $n>M$

\left|{\frac {a_{n}}{b_{n}}}-L\right|<\varepsilon

mikä todistaa väitteemme.

Äärettömän rajan tapaus voidaan pelkistää äärelliseksi. Varmuuden vuoksi:

\lim \limits _{{n\to \infty }}{\frac {a_{n}-a_{{n-1}}}{b_{n}-b_{{n-1}}}}=+ \infty

tästä seuraa, että riittävän suurelle : $n$

a_{n}-a_{{n-1}}>b_{n}-b_{{n-1}}

\lim \limits _{{n\to \infty }}a_{n}=+\infty

ja sekvenssi kasvaa tiukasti (tietystä numerosta alkaen). Tässä tapauksessa lauseen todistettua osaa voidaan soveltaa käänteiseen suhteeseen : $a_n$ ${b_{n} \yli a_{n}}$

\lim \limits _{{n\to \infty }}{\frac {b_{n}}{a_{n}}}=\lim \limits _{{n\to \infty }}{\frac {b_ {n}-b_{{n-1}}}{a_{n}-a_{{n-1}}}}=0

mistä seuraa, että:

\lim \limits _{{n\to \infty }}{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=+\infty

Jos raja on , sinun on harkittava järjestystä . $-\infty$ $\{-a_{n}\}$

Seuraus

Yksi Stolzin lauseen seurauksista on Ces'aron summausmenetelmän säännöllisyys . Tämä tarkoittaa, että jos jono konvergoi numeroon , niin aritmeettisten keskiarvojen jono konvergoi samaan numeroon. $a_n$ $a$ ${\frac {a_{1}+\pisteet +a_{n}}{n}}$

Muistiinpanot

↑ Otto Stolz. Vorlesungen über allgemeine Arithmetik: nach den Neueren Ansichten (saksa) . - Leipzig: Teubners, 1885. - S. 173-175.
↑ Fikhtengolts, 2003 .
↑ Arkhipov, Sadovnichy, Chubarikov, 1999 .

Kirjallisuus

Fikhtengol'ts G. M. Differentiaali- ja integraalilaskennan kurssi. - M .: Fizmatlit, 2003. - T. 1. - S. 78-79.
Arkhipov G.I. , Sadovnichiy V.A. , Chubarikov V.N. Matemaattisen analyysin luentoja / Toim. V. A. Sadovnichy. - M . : Korkeakoulu , 1999. - S. 43-44. - ISBN 5-06-003596-4 .