Erdős-Sökefalvi-Nagy Lause
Erdős-Sökefalvi-Nagy-lause on kombinatorisen geometrian tulos , jonka mukaan monikulmio ilman itseleikkauksia voidaan muuttaa kuperaksi monikulmioksi äärellisellä määrällä kuperan rungon "taskuihin" liittyvien komponenttien peiliheijastuksia . Jokaisessa vaiheessa määritetään monikulmion kupera runko ja sen reuna, jonka suhteen heijastus suoritetaan. Lopullisella polygonilla voi olla yhdensuuntaiset vierekkäiset reunat, eli se voi olla hieman kupera . Heijastuksen lisäksi taskua voidaan muuttaa kääntämällä180° kuoren reunan keskustaan nähden. Tällainen muunnos osoittautuu tehokkaammaksi keinoksi saavuttaa polygonin kupera [1] .
Arvauksen muotoili Pal Erdős vuonna 1935, ja se julkaistiin American Mathematical Monthly -lehdessä . Vuonna 1939 Sökefalvi-Nagy todisti ja julkaisi lauseen.
Lause
Mikä tahansa monikulmio, jossa ei ole itseleikkauksia, voidaan muuntaa heikosti kuperaksi monikulmioksi rajallisella määrällä taskujen heijastuksia kuperan rungon reunoista.
Historia
Lauseen historia on mielenkiintoinen, ja se on toistuvasti hylätty. Vuonna 1995 Branko Grünbaum löysi alkuperäisestä todistuksesta hienovaraisen virheen, jonka hän onnistui poistamaan.
Muunnelmia ja yleistyksiä
- Joss ja Shannon osoittivat, että vaadittua heijastusten määrää ei voida rajoittaa edes nelikulmioiden kohdalla. He antoivat myös pistemäärän kierrosten määrästä.
- Mikä tahansa -gon, jossa ei ole itseleikkauksia, voidaan muuttaa heikosti kuperaksi vain kiertämällä taskuja kuperan rungon reunojen ympäri.
- Lauseen kirjoittajat olettivat, että rotaatioita on itse asiassa tarpeeksi [2] . Vuodesta 2013 lähtien sitä ei ole todistettu.
- Grünbaum-Sachsin lause: Mikä tahansa monikulmio voidaan tehdä heikosti kuperaksi äärellisellä määrällä taskukierroksia kuperan rungon reunojen ympäri.
- Mikä tahansa -gon, jossa ei ole itseleikkauksia, voidaan muuttaa heikosti kuperaksi vain kiertämällä taskuja kuperan rungon reunojen ympäri.
Muistiinpanot
- ↑ Branko Grünbraum ja Joseph Sachs. Polygonien kupera käännösten ja käännösten avulla // Diskreetti matematiikka. - 2001. - T. 241 . - S. 333-342 . Arkistoitu alkuperäisestä 30. toukokuuta 2013.
- ↑ Branko Grünbaum . Kuinka monikulmio konveksioidaan // Geombinatoriaalit . - 1995. - Nro 5 . - S. 24-30 .
Kirjallisuus
- Godfried Toussaint . Erdős-Nagyn lause ja sen seuraukset // Proc. 11. Kanadan laskennallisen geometrian konferenssi. - 1999. - S. 219-236 .
- E. D. Demaine , B. Gassend, J. O'Rourke, G. T. Toussaint. Kaikki polygonit kääntyvät äärettömästi, eikö? Diskreetin ja laskennallisen geometrian tutkimuksia // Contemp. Matematiikka. - Providence, R.I.: Amer. Matematiikka. Soc, 2008. - T. 453 . - S. 231-255 .