Jakolause

Halkaisulause on klassinen lause Riemannin geometriassa .

Sanamuoto

Oletetaan, että täydellisessä Riemannin monistossa , jossa on ei-negatiivinen Ricci-kaarevuus , on viiva eli geodeettinen viiva, joka $M$ $\gamma \colon \mathbb {R} \to M$

d(\gamma (u),\gamma (v))=|uv|

kaikille

u,v\in \mathbb {R} .

Sitten isometrinen tuotteen suhteen $M$

\mathbb {R} \times L,

missä on Riemannin monisto, jossa on ei-negatiivinen Ricci-kaarevuus. $L$

Lisäksi voidaan osoittaa, että joillekin . ${\näyttötyyli \gamma (t)=(t,x)}$ $x\in L$

Historia

Pinnoille lauseen osoitti Cohn-Vossen . [1] Toponogov yleisti sen jakoputkiksi, joilla on ei-negatiivinen kaarevuus. [2] Cheeger ja Gromall osoittivat, että Ricci-kaarevuuden ei-negatiivisuus on riittävä ehto. [3]

Myöhemmin samanlainen lause todistettiin Lorentzian monille , joilla oli ei-negatiivinen Ricci-kaarevuus ajanomaisiin suuntiin. [4] [5] [6]

Linkit

↑ S. Cohn-Vossen, “Totalkrümmung und geodätische Linien auf einfachzusammenhängenden offenen vollständigen Flächenstücken”, Matem. Sat., 1(43):2 (1936), 139–164; Käännös venäjäksi A.S. Solodovnikov, "Kokonaiskaarevuus ja geodetiikka yksinkertaisesti yhdistetyillä avoimilla kokonaisilla pinnoilla", s. 249-287 kirjassa S.E. Cohn-Fossen. Joitakin kysymyksiä differentiaaligeometriasta yleensä. - Valtion fyysisen ja matemaattisen kirjallisuuden kustanta, 1959. - 303 s.
↑ Toponogov, VA Riemannin avaruudet, jotka sisältävät suoria viivoja.
↑ Jeff Cheeger; Detlef Gromoll, Halkaisulause ei-negatiivisen Ricci-kaarevuuden monille, Journal of Differential Geometry 6 (1971/72), 119–128.
↑ Eschenburg, J.-H. Halkaisulause aika-avaruudesta voimakkailla energiaolosuhteilla.
↑ Galloway, Gregory J. (1-MIAM) Lorentzin jakolause ilman täydellisyysoletusta.
↑ Newman, Richard PAC Todiste S.-T. Yau.