Tarkat ylä- ja alarajat

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 1. lokakuuta 2021 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 9 muokkausta .

Tarkka yläraja (yläraja) ja tarkka alaraja (alaraja) ovat yleistyksiä joukon maksimin ja minimin käsitteistä.

Joukon tarkka ylä- ja alaraja on yleensä merkitty (lue supremum x ) ja (lue infimum x ), vastaavasti. $X$ $\sup X$ $\inf X$

Käytetyt määritelmät

Majorantti , tai yläraja (raja) , Numeerinen joukko on lukusellainen, että. $X$ $a$ $\forall x\in X\Rightarrow x\leqslant a$

Numeerisen joukon minorantti tai alaraja (raja) on sellainen luku , että . $X$ $b$ $\forall x\in X\Rightarrow x\geqslant b$

Samoin samanlaiset käsitteet otetaan käyttöön ei-numeerisen osittain järjestetyn joukon osajoukolle . Näitä käsitteitä käytetään alla.

Määritelmät

Osittain järjestetyn joukon (tai luokan ) osajoukon tarkka yläraja (pienin yläraja) tai supremum ( latinaksi supremum - korkein) on pienin elementti , joka on yhtä suuri tai suurempi kuin kaikki joukon elementit . Toisin sanoen supremum on pienin kaikista yläpinnoista. Nimetty . $X$ $M$ $M$ $X$ $\sup X$

Muodollisemmin:

S_{X}=\{y\in M\mid \forall x\in X\!:x\leqslant y\}

- yläpintojen joukko , eli elementit, jotka ovat yhtä suuria tai suurempia kuin kaikki elementit ;

X

M

X

s=\sup(X)\iff S_{X}\ni s\;|\;\forall y\in S_{X}\!:s\leqslant y.

Osittain järjestetyn joukon (tai luokan ) tarkka alaraja (suurin alaraja) tai infimum ( lat. infimum - alin) osajoukko on suurin alkio , joka on yhtä suuri tai pienempi kuin kaikki joukon alkiot . Toisin sanoen infimum on suurin kaikista alarajoista. Nimetty . $X$ $M$ $M$ $X$ $\inf X$

Muistiinpanot

Nämä määritelmät eivät kerro mitään siitä, kuuluuko se joukkoon vai ei: $\sup X$ $\inf X$ $X$

tapauksessa sano, että se on maksimi , eli ;

s=\sup X\in X

s

X

s=\max X

jos sanotaan olevan minimi , eli .

i=\inf X\in X

i

X

i=\min X

Yllä olevat määritelmät ovat ei-predikatiivisia (viittaen itseensä), koska jokaisessa niistä määritelty käsite on osa joukosta, jonka kautta se määritellään. Matematiikan konstruktivismin kannattajat vastustavat tällaisten määritelmien käyttöä, jotka estävät tai poistavat teorioidensa " noidankehän " elementtejä eri menetelmin.
Tuntemattomia vakioita arvioitaessa käytetään termejä "yläraja" ja "alaraja", kun taas yläraja on jonkin tunnetun joukon alaraja ja alaraja on yläraja . Englannista termi "yläraja" voidaan kääntää sekä "ylärajaksi" että "ylärajaksi", mikä joskus johtaa sekaannukseen. Tilanne on samanlainen "matalarajaisen" lausekkeen kanssa.

Esimerkkejä

Kaikilla viisi suurempien rationaalisten lukujen joukolla ei ole minimiä, mutta on olemassa infimumi. tällainen joukko on yhtä suuri kuin viisi. Infimum ei ole minimi, koska viisi ei kuulu tähän joukkoon. Jos kuitenkin määritellään kaikkien luonnollisten lukujen joukko, jotka ovat suurempia kuin viisi, niin sellaisella joukolla on minimi, ja se on yhtä suuri kuin kuusi. Yleisesti ottaen kaikilla luonnollisten lukujen joukon ei-tyhjillä osajoukoilla on minimi. $\inf$
Settiä varten ${\displaystyle S=\left\{{\frac {1}{k}}\mid k\in \mathbb {N} \right\}=\left\{1,\;{\frac {1}{2 )),\;{\frac {1}{3)),\;\ldots \right\))$

\sup S=1

; .

\inf S=0

Positiivisten rationaalilukujen joukolla ei ole pienintä ylärajaa , vaan tarkka infimum . $\mathbb {Q} _{+}=\{x\in \mathbb {Q} \mid x>0\}$ $\mathbb {Q}$ $\inf \mathbb {Q} _{+}=0$
Rationaalilukujen joukolla , jonka neliö on pienempi kuin kaksi, ei ole tarkkaa ylä- ja alarajaa , mutta jos sitä pidetään reaalilukujoukon osajoukona , niin ${\displaystyle X=\{x\in \mathbb {Q} \mid x^{2}<2\))$ $\mathbb {Q}$

\sup X={\sqrt {2}}

ja .

\inf X=-{\sqrt {2}}

Reunalause

Sanamuoto

Reaalilukujen ei- tyhjällä osajoukolla , joka on rajattu edellä, on pienin yläraja; analoginen , alhaalta rajattu, on infimum. Eli sellaisia on olemassa : $A$ $B$ ${\bar {a}}$ ${\alleviivaus {b))$

{\bar {a))=\sup A:{\begin{cases}\forall a\in A\Rightarrow a\leqslant {\bar {a)),\\\forall {\bar {a} }'<{\bar {a}}\,\,\olemassa a\in A:a>{\bar {a}}';\end{cases}}\ \ \ \ (1)

{\underline {b}}=\inf B:{\begin{cases}\forall b\in B\Rightarrow b\geqslant {\alleviivaus {b)),\\\forall {\alleviivaus {b} }'>{\alleviivaus {b}}\,\,\olemassa b\in B:b<{\alleviivaus {b}}';\end{cases}}\ \ \ \ (2)

Todiste

Ei-tyhjälle ylhäältä rajatulle sarjalle. Alhaalta rajatulle joukolle argumentit suoritetaan samalla tavalla. $X$

Esitetään kaikki luvut äärettömien desimaalilukujen muodossa : , jossa on numero. $x\in X$ $x={\overline {x_{0},x_{1}\dots x_{m}\dots ))$ ${\displaystyle x_{0}\in \mathbb {N} \cup \{0\};\;\forall i\in \mathbb {N} ,\,x_{i))$

Joukko on ei-tyhjä ja rajattu ylhäältä määritelmän mukaan . Koska ja on ylhäältä rajoitettu, on olemassa äärellinen määrä alkioita, jotka ovat suurempia kuin jotkut (muuten induktioperiaate merkitsisi rajattomuutta ylhäältä). Tehdään valinta näistä . $X_{0}=\{x_{0}\mid \forall {\overline {x_{0},x_{1}\ldots x_{m}\ldots }}\in X\}$ $X$ ${\displaystyle X_{0}\subset \mathbb {N} \cup \{0\))$ $X_{0}$ ${\tilde {x}}_{0}\in X_{0}$ $X_{0}$ ${\displaystyle a_{0}=\max X_{0))$

Joukko ei ole tyhjä ja koostuu enintään kymmenestä elementistä, joten on olemassa . $X_{1}=\{{\overline {a_{0},x_{1}}}\mid \forall {\overline {a_{0},x_{1}\ldots x_{m}\ldots }}\in X\}$ $a_{1}=\max X_{1}$

Oletetaan, että jollekin luvulle muodostetaan desimaaliluku siten, että , ja (alkuperäisen kokoonpanon minkään elementin desimaaliesitys -: nnen desimaalin tarkkuudella ei ylitä , ja on vähintään 1 elementti, jonka desimaalimerkintä alkaa kirjaimella ). $m$ ${\displaystyle {\overline {a_{0},a_{1}\dots a_{m))))$ $\exists x\in X:x={\overline {a_{0},a_{1}\ldots a_{m}\ldots ))$ ${\displaystyle \forall x\in X:x={\overline {x_{0},x_{1}\ldots x_{m}\ldots }}\Rightarrow {\overline {x_{0},x_{1} \ldots x_{m))}\leqslant {\overline {a_{0},a_{1}\ldots a_{m))))$ $m$ ${\displaystyle {\overline {a_{0},a_{1}\dots a_{m))))$ ${\displaystyle a_{0},a_{1}\dots a_{m))$

Merkitse (joukko elementtejä , jotka alkavat merkillä ). Numeron määritelmän mukaan joukko ei ole tyhjä. Se on äärellinen, joten on olemassa luku , jolla on samat ominaisuudet kuin . $X_{m+1}=\{{\overline {a_{0},\ldots a_{m+1))}\mid \forall {\overline {a_{0},\ldots a_{m+ 1 }\ldots }}\in X\}$ $X$ ${\displaystyle a_{0},a_{1}\dots a_{m}a_{m+1))$ ${\displaystyle {\overline {a_{0},a_{1}\ldots a_{m))))$ $X_{m+1}$ ${\overline {a_{0},a_{1}\dots a_{m}a_{m+1}}}=\max X_{m+1}$ $olen$

Siten induktioperiaatteen mukaan millä tahansa se osoittautuu tietyksi numeroksi ja siksi ääretön desimaaliluku määritetään yksiselitteisesti $n$ $a_n$

a\equiv {\overline {a_{0},a_{1}\ldots a_{n}\ldots }}\in \mathbb {R}

Otetaan mielivaltainen luku . Numeron rakenteen mukaan se pätee mille tahansa numerolle ja siksi . Koska päättely täyttyy , niin ja määritelmän toinen rivi osoittautuu täyttyneeksi konstruktiosta . $x\in X,x={\overline {x_{0},x_{1}\dots x_{n}\dots }}$ $a$ $n$ ${\displaystyle {\overline {x_{0},x_{1}\dots x_{n))}\leqslant {\overline {a_{0},a_{1}\dots a_{n))))$ $x\leqslant a$ $\forall x\in X$ $a=\sup X$ $a$

Valitaan . On helppo huomata, että ainakin yksi desimaalimerkinnän numero on pienempi kuin vastaava luku merkinnässä . Harkitse tällaisen luvun ensimmäisellä numerolla saatua tulosta . Koska se ei ole tyhjä, . $a'<a$ $a'$ $a$ $X_{i}$ $\exists x\in X_{i}\subset X:x>a'$

Todistus täydellisyysperiaatteella

Ylhäältä rajatulle ei-tyhjälle joukolle harkitse — ei-tyhjää ylärajojen joukkoa . Määritelmän mukaan (joukko on vasemmalla puolella ). Jatkuvuuden mukaan . _ Määritelmän mukaan joka tapauksessa (muuten - ei ylärajojen joukko, vaan vain osa sen osajoukosta). Koska on pienin elementti , niin . $X$ ${\overline {X}}$ $X$ ${\overline {x}}\geqslant x,\forall x\in X,\forall {\overline {x}}\in {\overline {X}}$ $X$ ${\overline {X}}$ $\exists c\in \mathbb {R} :\forall x\in X\leqslant c\leqslant \forall {\overline {x}}\in {\overline {X}}$ ${\overline {X}}$ $c\in {\overline {X}}$ ${\overline {X}}$ $c$ ${\overline {X}}$ $c=\sup X$

Tarkastellaan määritelmän toista riviä. Valitaan . Olkoon sitten , mikä tarkoittaa, että , mutta , ja on pienin elementti . Ristiriita, eli . Yleisesti ottaen perustelu on oikea . $c'<c$ ${\näyttötyyli \ei \olemassa x\in X:x>c'}$ $\forall x\in X:x\leqslant c'$ $c'\in {\overline {X}}$ $c'<c$ $c$ ${\overline {X}}$ $\exists x\in X:x>c'$ $\forall c'$

Alhaalta rajatulle joukolle argumentit ovat samanlaiset.

Ominaisuudet

Reunalauseen mukaan mille tahansa edellä rajatulle osajoukolle on olemassa . $\mathbb {R}$ $\ylös$
Reunalauseen mukaan mille tahansa alle rajatulle osajoukolle on olemassa . $\mathbb {R}$ $\inf$
Todellinen luku on jos ja vain jos: $s$ $\sup X$

s

on yläraja , eli kaikille elementeille , ;

X

x\in X

x\leqslant s

jokaiselle on Sellainen, että (eli voit "saada lähelle" mielivaltaisesti joukosta , ja , On selvää, että ).

\varepsilon > 0

x\in X

x+\varepsilon >s

s

X

s\in X

s+\varepsilon >s

Viimeisen kaltainen väite pätee myös alimmalle alarajalle.

Muunnelmia ja yleistyksiä

Merkittävä ylivoima

Kirjallisuus

Bogdanov Yu. S., Kastritsa OA, Syroid Yu. B. Matemaattinen analyysi: Oppikirja yliopistoille. - M.: UNITI-DANA, 2003. - S. 11-14. ISBN 5-238-00500-8
Bogdanov Yu. S. Matemaattisen analyysin luentoja. Osa 1. - Mn.: BSU Publishing House, 1974. - S. 3-8.
W. Rudin. Matemaattisen analyysin perusteet. - M .: Mir, 1976. - 320 s.