Trigonometrinen polynomi

Trigonometrinen polynomi on funktio todellisesta argumentista, joka on äärellinen trigonometrinen summa, eli funktio, joka esitetään seuraavasti:

f(x)={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{k=1}^{n}(a_{k}\cos(kx)+b_{k}\ sin(kx))

missä on argumentti ja kertoimet , ja . $x,a_{k},b_{k}\in \mathbb {R}$ $k=1,2,...,n$

Monimutkaisessa muodossa, Eulerin kaavan mukaan, tällainen polynomi kirjoitetaan seuraavasti:

{\displaystyle f(x)=\sum _{k=-n}^{k=n}c_{k}e^{ikx))

missä . $c_{0}={\frac {a_{0}}{2}},c_{k}={\frac {(a_{k}-ib_{k})}{2}},c_{ -k}={\frac {(a_{k}+ib_{k})}{2))$

Tämä toiminto on portaattomasti erotettavissa ja -jaksollinen - jatkuva yksikkölevyllä. $2\pi$

Trigonometriset polynomit ovat tärkeimpiä funktioiden approksimointikeinoja, joita käytetään interpoloinnissa ja differentiaaliyhtälöiden ratkaisemisessa .

Weierstrassin lauseen mukaan jokaiselle ympyrällä jatkuvalle funktiolle on olemassa trigonometristen polynomien sarja, joka konvergoi siihen tasaisesti.

Trigonometrinen polynomi on Fourier-sarjan osasumma . Fejerin lauseen mukaan Fourier- sarjan osittaissummien aritmeettisten keskiarvojen sarja konvergoi tasaisesti levyllä jatkuvaan funktioon. Tämä tarjoaa yksinkertaisen konstruktiivisen menetelmän trigonometristen polynomien tasaisesti konvergentin sekvenssin muodostamiseksi.

Kirjallisuus

Matemaattinen tietosanakirja . - M . : "Pöllöt. tietosanakirja" , 1988. - S. 847 .
Zhuk V.V., Natanson G.I. Trigonometrinen Fourier-sarja ja approksimaatioteorian elementit. - L . : Kustantaja Leningrad. un-ta, 1983. - S. 188.