Paulin yhtälö

Paulin yhtälö on ei-relativistisen kvanttimekaniikan yhtälö, joka kuvaa varautuneen hiukkasen, jonka spin on 1/2 (esimerkiksi elektronin ) liikettä ulkoisessa sähkömagneettisessa kentässä . Paulin ehdotus vuonna 1927 . Ei pidä sekoittaa kineettiseen perusyhtälöön , jota joskus kutsutaan myös Paulin yhtälöksi.

Paulin yhtälö on yleistys Schrödingerin yhtälöstä , joka ottaa huomioon hiukkasen oman mekaanisen liikemäärän - spinin. Hiukkanen, jolla on spin 1/2, voi olla kahdessa eri spin-tilassa spinprojektioinnilla +1/2 ja −1/2 johonkin (mielisesti valittuun) suuntaan, joka yleensä otetaan z -akseliksi . Tämän mukaisesti hiukkasen aaltofunktio (jossa r on hiukkasen koordinaatti , t on aika ) on kaksikomponenttinen: $\psi (r,t)$

\psi (r,t)={\begin{pmatrix}\psi _{1}(r,t)\\\psi _{2}(r,t)\end{pmatriisi}}.

Kun koordinaattiakseleita kierretään ja ne muunnetaan spinorikomponenteiksi . Spinoriaaltofunktioiden avaruudessa skalaaritulolla ja on muoto $\psi_{1}$ $\psi_{2}$ $\psi$ $\psi'$

(\psi ',\psi )=\int (\psi '_{1}\psi _{1}+\psi '_{2}\psi _{2})dr,

Fysikaalisten suureiden operaattorit ovat 2x2 matriiseja, jotka spinistä riippumattomille suureille (havaittavissa oleville) ovat identiteettimatriisin kerrannaisia.

Sähködynamiikan yleisten lakien mukaisesti sähköisesti varatulla järjestelmällä, jonka spinmomentti on nolla, on myös magneettinen momentti , joka on verrannollinen : (g on gyromagneettinen suhde ). Ratamomentille , jossa e on varaus, m on hiukkasen massa; spin-gyromagneettinen suhde osoittautuu kaksi kertaa niin suureksi: . Ulkoisessa magneettikentässä magneettimomentilla on potentiaalienergia , jonka lisääminen elektronin Hamiltonin H-arvoon ulkoisessa elektronimagneettikentässä, jossa on potentiaalit ja A, johtaa Paulin yhtälöön: ${\vec {s}}$ ${\vec {s}}$ ${\vec {\mu }}=g{\vec {s}}$ $g={e\yli 2 mc}$ $g={e\over mc}$ ${\vec {B}}$ $U=-{\vec {\mu }}\ {\vec {B}}$ $\phi$

i\hbar {\partial \psi \over \partial t}={{\hat {\mathcal {H))}\psi \ }=\left[{1 \over 2m}({\hat {p }}-{e \over c}A{\hat {I}})^{2}+e\varphi {\hat {I}}-{{e\hbar } \over 2mc}({\hat {\ sigma )){\vec {B)))\right]\psi

missä on liikemäärä-operaattori, on yksikköoperaattori ja on verrannollinen spin-operaattoriin: . ${\hattu p}$ ${\hattu minä}$ ${\hattu \sigma }$ ${\hat s}={\hbar \over 2}{\hat \sigma }$

Alunperin heurististen näkökohtien perusteella ehdotettu Paulin yhtälö osoittautui luonnolliseksi seuraukseksi relativistisesti invariantista Dirac -yhtälöstä heikosti relativistisessa approksimaatiossa, jossa otetaan vain valonnopeuden käänteistehojen laajenemisen ensimmäiset termit. huomioon. Jos ulkoisen magneettikentän voimakkuus ei riipu avaruudellisista koordinaateista, niin hiukkasen rataliike ja sen spinin suunnan muutos tapahtuvat itsenäisesti. Tässä tapauksessa aaltofunktiolla on muoto , jossa on skalaarifunktio, joka noudattaa Schrödingerin yhtälöä, ja spinori täyttää yhtälön $\psi (r,t)=\Phi (r,t)\chi (t)$ $\Phi (r,t)$ $\chi ={\begin{pmatrix}\chi _{1}\\\chi _{2}\end{pmatrix}}$

i\hbar {\partial \chi \over \partial t}=-{{e\hbar } \over 2mc}(\sigma {\vec {B)))\chi .

Tästä yhtälöstä seuraa, että spinin keskiarvo precessoi magneettikentän suunnan ympäri: $\langle s\rangle =~{\hbar \over 2}(\chi +\sigma \chi )$

{\frac {d}{dt}}\langle s\rangle =-\omega _{B}[{\vec {n}}\langle s\rangle ].

Tässä on syklotronitaajuus ja yksikkövektori pitkin magneettikenttää. Paulin yhtälön perusteella voidaan laskea elektronitasojen jakautuminen atomissa ulkoisessa magneettikentässä ottaen huomioon spin ( Zeeman-ilmiö ). Elektronin spinistä johtuvat hienommat relativistiset efektit atomeissa voidaan kuitenkin kuvata vain ottamalla huomioon relativistisen Dirac-yhtälön laajenemisen korkeammat termit valonnopeuden käänteistehoina. $\omega _{B}={eB \over mc}$ ${\vec {n}}$

Kirjallisuus

Blokhintsev D. I. Kvanttimekaniikan perusteet. - 5. painos - M .: Nauka, 1976. - 664 s., kohta 62.
Davydov A.S. Kvanttimekaniikka. - 2. painos - M .: Nauka, 1973. - 704 s., kohta 63.
Pauli V. Aaltomekaniikan yleiset periaatteet. - M.-L.: OGIZ, 1947. - 332 s.
Berestetsky V. B. , Lifshits E. M. , Pitaevsky L. P. Quantum electrodynamics. - 4. painos, tarkistettu. — M .: Fizmatlit , 2002. — 720 s. - (" Teoreettinen fysiikka ", osa IV). — ISBN 5-9221-0058-0 .
Physical Encyclopedia / Ch. toim. A. M. Prokhorov. Ed. Kreivi D. M. Alekseev, A. M. Baldin, A. M. Bonch-Bruevich, A. S. Borovik-Romanov et ai. - M.: Great Russian Encyclopedia, 1992. - V. 3. Magnetoplasmic - Poynting-lause. — 672 s.

Paulin yhtälö

Kirjallisuus

Katso myös