Eulerin yhtälöt

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 12. maaliskuuta 2013 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 7 muokkausta .

Fysiikassa Eulerin yhtälöt kuvaavat jäykän kappaleen pyörimistä itse kappaleeseen liittyvässä koordinaattijärjestelmässä.

Johtopäätös

Ulkopuolisen tarkkailijan viitekehyksessä pyörimisliikkeen yhtälöillä on muoto

{\frac {d\mathbf {L} }{dt}}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {d}{dt}}\left(\mathbf { I} \cdot {\boldsymbol {\omega }}\right)=\mathbf {M}

Tässä muodossa yhtälöistä ei ole juurikaan hyötyä käytännössä, koska yleensä liikemäärän molemmat komponentit - hitausmomentin tensori ja kulmanopeuden pseudovektori - riippuvat ajasta. Eulerin idea oli siirtyä pyörivään kappaleeseen jäykästi yhdistettyyn vertailukehykseen. Tässä järjestelmässä hitausmomenttitensori on vakio, ja se voidaan ottaa derivaatana. Yksinkertaistamisen vuoksi valitsemme sen päähitausakselit kappaleen kiinteiksi akseleiksi. Näin ollen voidaan jakaa liikemäärän muutos komponenttiin, joka kuvaa suuruuden muutosta, ja komponenttiin, joka kompensoi tätä suunnanmuutosta . $\mathbf{L}$ $\mathbf{L}$

Sitten yhtälöt saavat seuraavan muodon:

\left({\frac {d\mathbf {L} }{dt}}\right)_{\mathrm {suhteellinen} }+\mathbf {\omega } \times \mathbf {L} ={\frac {d\mathbf {L} }{dt}}=\mathbf {N}

missä on kappaleen kulmaliikemäärä suhteessa avaruudellisiin akseleihin, on kappaleen kulmaliikemäärän muutos suhteessa sen kiinteisiin akseleihin, kappaleeseen liittyvien akseleiden Euler-kulmien muutosnopeus suhteessa spatiaaliset akselit ja on ulkoinen vääntömomentti. $\mathbf{L}$ $\left({\frac {d\mathbf {L} }{dt}}\right)_{\mathrm {suhteellinen} }$ $\mathbf{\omega}$ ${\mathbf {N}}$

jos korvaamme sen komponenteilla , voimme korvata sen lausekkeella . jos valitsemme kantavektorit yhteensopimaan kehon päähitausakselien kanssa, niin kolme ensimmäistä termiä ovat yhtä suuret ja loput kolme ovat . $\mathbf{L}$ $I_{1}\omega _{1}\mathbf {e} _{1}+I_{2}\omega _{2}\mathbf {e} _{2}+I_{3}\omega _ {3}\mathbf {e} _{3}$ ${\frac {d\mathbf {L} }{dt))$ $I_{1}{\piste {\omega }}_{1}\mathbf {e} _{1}+I_{2}{\piste {\omega }}_{2}\mathbf {e} _{2}+I_{3}{\piste {\omega }}_{3}\mathbf {e} _{3}+{\frac {d\mathbf {e} _{1}}{dt}} \omega _{1}I_{1}+{\frac {d\mathbf {e} _{2}}{dt}}\omega _{2}I_{2}+{\frac {d\mathbf {e } } _{3}}{dt}}\omega _{3}I_{3}$ $(\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3})$ $\left({\frac {d\mathbf {L} }{dt}}\right)_{\mathrm {suhteellinen} }$ $\mathbf {\omega } \times \mathbf {L}$

Sitten Euler-yhtälöt komponenttimuodossa ovat seuraavanlaisia:

{\begin{matrix}N_{1}&=&I_{1}{\piste {\omega }}_{1}+(I_{3}-I_{2})\omega _{2}\ omega _{3}\\N_{2}&=&I_{2}{\piste {\omega }}_{2}+(I_{1}-I_{3})\omega _{3}\omega _ {1}\\N_{3}&=&I_{3}{\piste {\omega }}_{3}+(I_{2}-I_{1})\omega _{1}\omega _{2 }\\\end{matriisi}}

On myös mahdollista käyttää näitä kolmea yhtälöä, jos akselit, joihin se kirjoitetaan , eivät liity runkoon. Sitten se tulisi korvata akselien pyörityksellä rungon pyörimisen sijaan. Edelleen vaaditaan kuitenkin, että valitut akselit ovat päähitausakseleita! Tätä Euler-yhtälöiden muotoa on kätevä käyttää kohteille, joilla on rotaatiosymmetria , mikä mahdollistaa joidenkin päähitausakselien valinnan mielivaltaisesti. $\left({\frac {d\mathbf {L} }{dt}}\right)_{\mathrm {suhteellinen} }$ $\mathbf{\omega}$

Yhtälöiden tyyppi mielivaltaisessa paikallisessa koordinaattijärjestelmässä

On mahdollista valita paikallinen järjestelmä, joka ei vastaa kehon päähitausakseleita. Tässä tapauksessa yhtälöt saavat muodon

N_{s}=I_{sq}{\piste {\omega }}_{q}+\varepsilon _{stp}\omega _{t}I_{pq}\omega _{q},

missä on kappaleen inertiatensori valitussa paikallisessa koordinaattijärjestelmässä. ${\displaystyle I_{sq))$

Katso myös

Eulerin kaava (jäykän kappaleen kinematiikka) jäykän kappaleen pisteiden nopeuksien yhdistämiseksi
Luettelo Leonhard Eulerin mukaan nimetyistä esineistä