Hiljaisempi kunto

Slaterin ehto on riittävä ehto tiukkaan kaksinaisuuteen konveksissa optimointitehtävässä . Ehto on nimetty Morton L. Slaterin mukaan [1] . Epävirallisesti Slaterin ehto sanoo, että kelvollisella alueella on oltava sisäpiste (katso yksityiskohdat alla).

Slater-ehto on esimerkki säännöllisyydestä [2] . Erityisesti, jos Slaterin ehto täyttyy alkuongelmalle , niin duaalisuusrako on 0 ja jos duaalitehtävän arvo on äärellinen, se saavutetaan [3] .

Sanamuoto

Harkitse optimointiongelmaa

Minimoida

f_{0}(x)

Rajoituksella

f_{i}(x)\leqslant 0,i=1,\ldots ,m

ax=b

missä ovat konveksit funktiot . Tämä on esimerkki kuperasta ohjelmointiongelmasta . ${\displaystyle f_{0},\ldots ,f_{m))$

Toisin sanoen kuperaohjelmoinnin Slaterin ehto sanoo, että vahva kaksinaisuus pätee, jos on olemassa sellainen piste , joka on tiukasti toteutettavissa olevien ratkaisujen alueella (eli kaikki rajoitukset pätevät, mutta epälineaariset rajoitukset pätevät tiukoina epäyhtälöinä). $x^{*}$ $x^{*}$

Matemaattisesti Slaterin ehto sanoo, että vahva kaksinaisuus pätee, jos on olemassa piste (jossa relint tarkoittaa kuperan joukon suhteellista sisäosaa ) siten, että $x^{*}\in \operaattorinimi {relint} (D)$ $D:=\cap _{i=0}^{m}\operaattorin nimi {dom} (f_{i})$

f_{i}(x^{*})<0,i=1,\ldots ,m,

(kuperat epälineaariset rajoitukset)

Ax^{*}=b.\,

[4] .

Yleistynyt epäyhtälö

Anna tehtävän antaa

Minimoida

f_{0}(x)

Rajoituksella

f_{i}(x)\leqslant _{K_{i}}0,i=1,\ldots ,m

ax=b

jossa funktio on kupera ja on kupera mille tahansa . Sitten Slaterin ehto sanoo, että siinä tapauksessa kun on olemassa , niin että $f_0$ $f_{i}$ $K_{i}$ $i$ $x^{*}\in \operaattorinimi {relint} (D)$

f_{i}(x^{*})<_{K_{i}}0,i=1,\ldots ,m

Ax^{*}=b

silloin on olemassa tiukka kaksinaisuus [4] .

Muistiinpanot

↑ Slater, 1950 .
↑ Takayama, 1985 , s. 66–76.
↑ Borwein, Lewis, 2006 .
↑ 1 2 Boyd, Vandenberghe, 2004 .

Kirjallisuus

Morton Slater. Cowles-komission keskusteluasiakirja nro 403 . - 1950. Uusintapainos v
- Epälineaarisen ohjelmoinnin jäljet ja synty / Giorgio Giorgi, Tinne Hoff Kjeldsen. — Basel: Birkhäuser, 2014. — s. 293–306. — ISBN 978-3-0348-0438-7 .
Akira Takayama. Matemaattinen taloustiede . - New York: Cambridge University Press, 1985. - ISBN 0-521-25707-7 .
Jonathan Borwein, Adrian Lewis. Kupera analyysi ja epälineaarinen optimointi: teoria ja esimerkit. – 2. - Springer, 2006. - ISBN 0-387-29570-4 .
Stephen Boyd, Lieven Vandenberghe. Kupera optimointi . - Cambridge University Press, 2004. - ISBN 978-0-521-83378-3 .