Jonesin formalismi

Jones-formalismi on matemaattinen laitteisto valoaallon polarisaation analysointiin , jossa polarisaatio saadaan ns. Jones-vektorien avulla ja lineaariset optiset elementit Jones - matriiseilla [1] . Formalismia ehdotti vuonna 1941 Robert Clark Jones. Jones-formalismi soveltuu täysin polarisoituneeseen valoon, polaroimattomaan tai osittain polarisoituneeseen valoon on käytettävä Mullerin formalismia .

Jones Vector

Jones-vektori kuvaa valon polarisaatiota tyhjiössä tai muussa homogeenisessa isotrooppisessa väliaineessa ilman absorptiota, jossa valoa voidaan kuvata poikittaisella sähkömagneettisella aallolla. Olkoon tasoaallon eteneminen positiiviseen suuntaan z - akselia pitkin ja sen syklinen taajuus ω ja aaltovektori k = (0,0, k ), jossa aaltoluku on k = ω / c . Tällöin sähkö- ja magneettikentät ( E ja H ) ovat kohtisuorassa k :n suhteen kussakin pisteessä; eli ne sijaitsevat tasossa, joka on poikittainen liikesuuntaan nähden. Lisäksi H määritetään siten, että E on käännetty 90 astetta ja kerrottu tietyllä kertoimella riippuen yksikköjärjestelmästä ja väliaineen aaltoimpedanssista . Siksi polarisaatiota tutkittaessa riittää keskittyä E . Kompleksi amplitudi E kirjoitetaan

{\begin{pmatrix}E_{x}(t)\\E_{y}(t)\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}E_{0x}e^{i( kz-\omega t+\phi _{x})}\\E_{0y}e^{i(kz-\omega t+\phi _{y})}\\0\end{pmatrix}}={\begin {pmatrix}E_{0x}e^{i\phi _{x}}\\E_{0y}e^{i\phi _{y}}\\0\end{pmatrix}}e^{i(kz -\omega t)}

E : n fyysisen arvon määrää tämän vektorin reaaliosa, ja kompleksitekijä kuvaa aallon vaihetta.

Sitten Jones-vektori määritellään seuraavasti:

{\begin{pmatrix}E_{0x}e^{i\phi _{x}}\\E_{0y}e^{i\phi _{y}}\end{pmatrix}}\;.

Joten Jones-vektori tallentaa tietoa kentän x- ja y -komponenttien amplitudista ja vaiheesta.

Jones-vektorin kahden komponentin absoluuttisten arvojen neliöiden summa on verrannollinen valon voimakkuuteen. Yleensä se normalisoidaan yhdeksi siinä kohdassa, jossa laskenta alkaa. Yleisesti oletetaan myös, että Jones-vektorin ensimmäinen komponentti on reaaliluku . Tässä tapauksessa tiedot liitosvaiheesta hylätään, mikä kuitenkin on tarpeen muiden säteiden häiriöiden laskemiseksi.

Jones-vektorit ja -matriisit on merkitty siten, että aallon vaihe on annettu . Tällä määritelmällä lisäys (tai ) vastaa vaiheviivettä ja lasku edistymistä. Esimerkiksi Jones-vektorikomponentti ( ) osoittaa viivettä (tai 90 astetta) 1:stä. Toinen sopimus ( ) pätee, joten lukijan tulee olla varovainen. $\phi =kz-\omega t$ $\phi _{x}$ ${\displaystyle \phi _{y))$ $i$ $=e^{i\pi /2}$ $\pi /2$ $\phi =\omega t-kz$

Seuraava taulukko sisältää 6 suosittua esimerkkiä Jones-vektorista:

Valon polarisaatio	Jones vektori	Tyypillinen ketin nimitys
Lineaarisesti polarisoitu x yleisnimessä - vaakasuora	${\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}$	$\|H\rangle$
Lineaarisesti polarisoitunut y :ssä tavallinen nimi on pystysuora	${\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix))$	$\|V\rangle$
Lineaarisesti polarisoitu 45° kulmassa x-akseliin nähden, tavallinen nimi on diagonaali L+45	${\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}$	$\|D\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2))}(\|H\rangle +\|V\rangle )$
Lineaarisesti polarisoitu -45° kulmassa x-akseliin nähden, tavallinen nimi on anti-diagonaalinen L-45	${\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}}$	$\|A\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2))}(\|H\rangle -\|V\rangle )$
Pyöreä polarisaatio vastapäivään yleinen nimi - RCP tai RHCP	${\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\-i\end{pmatrix}}$	$\|R\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2))}(\|H\rangle -i\|V\rangle )$
Myötäpäivään ympyräpolarisaatio , joka tunnetaan yleisesti nimellä LCP tai LHCP	${\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\+i\end{pmatrix}}$	$\|L\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(\|H\rangle +i\|V\rangle )$

Yleensä mikä tahansa vektori voidaan kirjoittaa ket-merkinnällä muodossa . Käyttämällä Poincarén palloa (tunnetaan myös nimellä Bloch-pallo ) perusket-vektorien ( ja ) tulee merkitä vastakkaisia ket-vektoreita luetelluista pareista. Voit kirjoittaa esimerkiksi = ja = . Valinta tässä on mielivaltainen. Vastakkaiset parit: $|\psi\rangle$ $|0\alue$ $|1\alue$ $|0\alue$ $|H\rangle$ $|1\alue$ $|V\rangle$

$|H\rangle$ että $|V\rangle$
$|D\rangle$ että $|A\rangle$
$|R\rangle$ että $|L\rangle$

Jones-matriisit

Jones-matriiseja kutsutaan Jones-vektoreihin vaikuttaviksi operaattoreiksi. Ne määritetään erilaisille optisille elementeille: linsseille, säteenjakajille, peileille ja niin edelleen. Jokainen matriisi on projektio Jones-vektorien yksiulotteiseen kompleksiavaruuteen. Seuraavassa taulukossa on esimerkkejä polarisaattorien Jones-matriiseista:

Optinen elementti	Jones matriisi
Lineaarinen [[]]polarisaattori vaakasuuntaisella siirtoakselilla [1]	${\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}$
Lineaarinen polarisaattori pystysuoralla siirtoakselilla [1]	${\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}$
Lineaarinen polarisaattori, jonka siirtoakseli on ±45° kulmassa vaakatasoon nähden [1]	${\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1&\pm 1\\\pm 1&1\end{pmatrix}}$
Oikeakätinen pyöreä polarisaattori [1]	${\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1&i\\-i&1\end{pmatrix}}$
Vasenkätinen pyöreä polarisaattori [1]	${\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1&-i\\i&1\end{pmatrix}}$

Vaiheen manipulointi

Vaihemuuntimet muuttavat pysty- ja vaakapolarisaatioiden vaihe-eroa ja säätelevät siten säteen polarisaatiota. Ne on yleensä valmistettu yksiakselisista kahtaistaittavista kiteistä , kuten kalsiitista , MgF 2 :sta tai kvartsista . Yksiakselisilla kiteillä on toinen kideakseleista, jotka eroavat kahdesta muusta (eli n i ≠ n j = n k ). Tätä akselia kutsutaan epätavalliseksi tai optiseksi. Optinen akseli voi olla nopea tai hidas kiteestä riippuen. Valo kulkee suurella vaihenopeudella pitkin akselia, jolla on pienin taitekerroin , ja tätä akselia kutsutaan nopeaksi akseliksi. Vastaavasti akselia, jolla on suurin taitekerroin, kutsutaan hitaksi akseliksi. "Negatiivisilla" yksiaksiaalisilla kiteillä (esim. kalsiitti CaCO 3, safiiri Al 2 O 3 ) on ne < n o , joten näille kiteille epätavallinen (optinen) akseli on nopea, kun taas "positiivisilla" yksiaksiaalikiteillä (esim. kvartsi SiO 2 , magnesiumfluoridi MgF 2 , rutiili TiO 2 ) ovat ne > n o , ja niiden epätavallinen akseli on hidas.

Vaihemuuntimessa, jonka nopea akseli osuu yhteen x- tai y-akselin kanssa, ei ole diagonaalista poikkeavaa termiä, ja siksi se voidaan näyttää matriisilla

{\begin{pmatrix}e^{i\phi _{x}}&0\\0&e^{i\phi _{y}}\end{pmatrix}}

missä ja ovat sähkökentän vaiheet x- ja y -suunnassa , vastaavasti. Tässä merkinnässä määrittää kahden aallon välisen suhteellisen vaiheen muodossa . Tällöin positiivinen arvo (eli > ) tarkoittaa, että sillä ei ole samaa arvoa kuin sillä on vielä jonkin aikaa, eli eteenpäin . Vastaavasti jos , edeltää . Esimerkiksi, jos neljännesaaltolevyn nopea akseli on vaakasuora, niin vaakapolarisaation vaihenopeus on edellä pystypolarisaation vaihenopeus, eli eteenpäin . Jos , joka neljännesaaltolevylle antaa . $\phi _{x}$ ${\displaystyle \phi _{y))$ $\phi =kz-\omega t$ ${\displaystyle \epsilon =\phi _{y}-\phi _{x))$ $\epsilon$ ${\displaystyle \phi _{y))$ $\phi _{x}$ ${\displaystyle E_{y))$ ${\näyttötyyli E_{x))$ ${\näyttötyyli E_{x))$ ${\displaystyle E_{y))$ $\epsilon <0$ ${\displaystyle E_{y))$ ${\näyttötyyli E_{x))$ ${\näyttötyyli E_{x))$ ${\displaystyle E_{y))$ ${\displaystyle \phi _{x}<\phi _{y))$ $\phi _{y}=\phi _{x}+\pi /2$

Vaihtoehtoinen vaiheen merkintä on: , määrittelee suhteellisen vaiheen muodossa . Silloin tarkoittaa, että jonkin aikaa ei ole samaa arvoa , sitten ennen . $\phi =\omega t-kz$ ${\displaystyle \epsilon =\phi _{x}-\phi _{y))$ $\epsilon >0$ ${\displaystyle E_{y))$ ${\näyttötyyli E_{x))$ ${\näyttötyyli E_{x))$ ${\displaystyle E_{y))$

Elementti	Jones matriisi
Neljännesaaltolevy pystysuoralla nopealla akselilla [2] [3]	$e^{i\pi /4}{\begin{pmatrix}1&0\\0&-i\end{pmatrix}}$
Neljännesaaltolevy vaakasuoralla nopealla akselilla	$e^{i\pi /4}{\begin{pmatrix}1&0\\0&i\end{pmatrix}}$
Neljännesaaltolevy, jossa nopea akseli kulmassa vaaka-akseliin nähden $\theta$	$e^{-i\pi /4}{\begin{pmatrix}\cos ^{2}\theta +i\sin ^{2}\theta &(1-i)\sin \theta \cos \ theta \\(1-i)\sin \theta \cos \theta &\sin ^{2}\theta +i\cos ^{2}\theta \end{pmatrix}}$
Puoliaaltolevy, jossa nopea akseli kulmassa vaaka-akseliin nähden [4] $\theta$	$e^{-i\pi /2}{\begin{pmatrix}\cos 2\theta &\sin 2\theta \\\sin 2\theta &-\cos 2\theta \end{pmatrix))$
Mielivaltainen materiaali, jossa on kaksinkertainen refraktio (vaihemuuntimena) [5]	${\begin{pmatrix}e^{i\eta /2}\cos ^{2}\theta +e^{-i\eta /2}\sin ^{2}\theta &(e^{ i\eta /2}-e^{-i\eta /2})e^{-i\phi }\cos \theta \sin \theta \\(e^{i\eta /2}-e^{ -i\eta /2})e^{i\phi }\cos \theta \sin \theta &e^{i\eta /2}\sin ^{2}\theta +e^{-i\eta /2 }\cos ^{2}\theta \end{pmatrix}}$

Muistiinpanot

↑ 1 2 3 4 5 6 7 Fowles, G. Johdatus nykyaikaiseen optiikkaan (määrätön) . – 2. - Dover, 1989. - S. 35 .
↑ 1 2 Hecht, E. Optiikka (määrätön) . – 4. - 2001. - S. 378. - ISBN 0805385665 .
↑ Kerroin tulee näkyviin vain, kun vaiheet on asetettu symmetrisesti, eli . Kirja [2] käyttää tätä määritelmää , mutta ei kirja [1] . $e^{i\pi /4}$ $\phi _{x}=-\phi _{y}=\pi /4$
↑ Gerald, A. Johdatus optiikkaan matriisimenetelmiin (määrittelemätön) . – 1. - 1975. - ISBN 0471296856 .
↑ Ei-depolarisoivan optisen järjestelmän polarisaatio- ja hidastusparametrien saaminen sen Mueller-matriisin polaarisesta hajoamisesta , Optik, Jose Jorge Gill ja Eusebio Bernabeu, 76 , 67-71 (1987).