Wallisin kaava

Wallisin kaava (myös Wallisin tulo ) on kaava, joka ilmaisee luvun rationaalisten $\pi$ murtolukujen äärettömänä tulona:

{\begin{aligned}{\frac {\pi }{2}}&=\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {4n^{2}}{4n^{2 }-1}}=\prod _{n=1}^{\infty }\left({\frac {2n}{2n-1}}\cdot {\frac {2n}{2n+1}}\oikea )\\[6pt]&={\Iso (}{\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}{\Big )}\cdot {\Big (}{\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}{\Big )}\cdot {\Big (}{\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{ 7}}{\Big )}\cdot {\Big (}{\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}{\Big )}\cdot \;\cdots \\ \end{aligned}}

Historia

Vuonna 1655 John Wallis ehdotti kaavaa luvun määrittämiseksi : $\pi$

{\frac {\pi }{2}}=\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {(2n)^{2}}{(2n-1)(2n+1 )}}={\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}} \cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdot {\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}\cdot {\frac {10}{9}}\cdot {\frac {10}{11}}\cdot \ldots

J. Wallis tuli hänen luokseen laskemalla ympyrän pinta-alaa. Historiallisesti Wallisin kaava oli merkittävä yhtenä ensimmäisistä esimerkkeistä äärettömistä tuotteista.

Todiste

Käyttää sinifunktiolle ääretöntä Euler-tuloa: [1]

{\frac {\sin x}{x}}=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {x^{2}}{n^{2} \pi ^{2}}}\oikea).

Anna sitten $x=\pi /2$

{\frac {2}{\pi }}=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {1}{4n^{2}}}\oikea) ,

{\begin{aligned}{\frac {\pi }{2}}&=\prod _{n=1}^{\infty }\left({\frac {4n^{2}}{4n ^{2}-1}}\right)=\\&=\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {(2n)(2n)}{(2n-1)(2n+1 )}}={\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}} \cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdot {\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}\cdot \ldots \end{aligned}}

Sovellus

Tämä tuote konvergoi äärimmäisen hitaasti, joten Wallisin kaavasta ei ole juurikaan hyötyä käytännön luvun laskennassa. Se on kuitenkin hyödyllinen erilaisissa teoreettisissa tutkimuksissa, esimerkiksi Stirlingin kaavan johtamisessa . Jos kuitenkin korjataan hieman tämän kaavan loppua: $\pi$

\pi \approx \left[\prod _{n=1}^{m-1}{\frac {(2n)^{2}}{(2n-1)(2n+1)))\ oikea]\cdot \left[{\frac {2m}{2m-1}}\cdot \left({\frac {2m}{2m+1}}\cdot {\frac {1}{4}}+1 \right)+{\frac {3}{4}}\right]={\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3 }}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdot \left[{\frac {8}{ 7}}\cdot \left({\frac {8}{9}}\cdot {\frac {1}{4}}+1\right)+{\frac {3}{4}}\oikea],

silloin lähentymisnopeus kasvaa noin viisi suuruusluokkaa.

Muistiinpanot

↑ Wallis Formula . mathworld.wolfram.com . Haettu 13. maaliskuuta 2012. Arkistoitu alkuperäisestä 10. lokakuuta 2020. (määrätön)

Wallisin kaava

Historia

Todiste

Sovellus

Muistiinpanot

Linkit