Taylor-Peanon kaava

Taylor - Peanon kaava Olkoon joukon rajapiste ja . Jos funktio on differentioituva pisteessä , niin Taylor-Peanon kaava pätee kaikille $f:{\mathbb C}\to {\mathbb C}$ $z_{0}$ $D_f$ $z_{0}\in D_{f}$ $f$ $n$ $z_{0}$ $z\in D_{f}$

f(z)=\sum \limits _{{k=0}}^{n}{\frac {f^{{(k)}}(z_{0})(z-z_{0})^{ k}}{k!}}+\varepsilon _{n}(z)(z-z_{0})^{n},

(yksi)

missä ε n (z) on jatkuva funktio pisteessä z 0 ja ε n ( z 0 ) = 0. Käytämme matemaattisen induktion menetelmää . Jos n = 0, niin lause on ilmeinen arvolle ε n ( z ) = f ( z ) − f ( z 0 ). Oletetaan, että lauseen lause on tosi, kun n on korvattu n -1:llä ja että funktio f on n kertaa differentioituva Fermat-Lagrangen mielessä pisteessä z 0 . Määritelmän mukaan pisteessä z 0 on olemassa n − 1 Fermat-Lagrange-differentioituva funktio φ siten, että ∀ z ∈ D f ,

$f(z)-f(z_{0})=(z-z_{0})\varphi (z).\quad \quad (2)$

Oletuksella

$\varphi (z)=\sum \limits _{k=0}^{n-1}{\frac {\varphi ^{(k)}(z_{0})(z-z_{0} )^{k}}{k!}}+\varepsilon _{n-1}(z)(z-z_{0})^{n-1},\quad \quad (3)$

jossa on jatkuva funktio pisteessä z 0 ja . Yhtälöistä (2) ja (3) saadaan: $\varepsilon _{{n-1}}(z)$ $\varepsilon _{{n-1}}(z_{0})=0$

$f(z)=f(z_{0})+(z-z_{0})\left(\sum \limits _{k=0}^{n-1}{\frac {f^{ (k+1)}(z_{0})(z-z_{0})^{k}}{k!}}+\varepsilon _{n-1}(z)(z-z_{0}) ^{n-1}\oikea)=$

$=f(z_{0})+\sum \limits _{k=0}^{n-1}{\frac {f^{(k+1)}(z_{0})}{k +1}}{\frac {(z-z_{0})^{k+1}}{k!}}+\varepsilon _{n-1}(z)(z-z_{0})^{ n},$

joka vastaa kaavaa (1) . $\varepsilon _{n}=\varepsilon _{{n-1}}$

Kirjallisuus

A.K.Boyarchuk "Monimutkaisen muuttujan funktiot: teoria ja käytäntö" Korkeamman matematiikan hakuteos. T.4 M.: Pääkirjoitus URSS, 2001. - 352s.