Yhtälö funktionaalisissa derivaatoissa

Yhtälö funktionaalisissa derivaatoissa on yleistys differentiaaliyhtälön käsitteestä äärettömän muuttujajoukon tapaukseen. Sitä käytetään funktionaalisessa analyysissä ja teoreettisessa fysiikassa ( Schwinger-Tomonaga-yhtälö , Schwinger-yhtälöt ).

Tavallinen yhtälö funktionaalisissa derivaatoissa saadaan siirtymällä rajaan äärettömään muuttujien joukkoon kokonaisdifferentiaalien yhtälöstä [1] :

{\displaystyle du=p_{1}dx_{1}+p_{2}dx_{2}+...+p_{n}dx_{n))

(yksi),

jossa: ja kertoimet ovat muuttujien funktioita . $u$ $p_{j}$ $n$ ${\näyttötyyli x_{1},x_{2},...,x_{n))$

Kun siirrytään yhtälön (1) rajaan, summa muuttuu integraaliksi ja se on muodossa: $n\to\infty$

\delta U=\int _{0}^{1}f[x(t);U,\tau ]\delta x(\tau )d\tau

(2)

jossa: - tuntematon funktio funktiosta , - integrointimuuttuja. $U$ $x(t)$ $\tau$

Käyttämällä funktionaalisen derivaatan käsitettä tämä yhtälö voidaan kirjoittaa seuraavasti:

U_{x(\tau )}^{'}=f[x(t);U,\tau ]

(3)

jossa: - funktionaalinen derivaatta. $U_{x(\tau )}^{'}$

Jos funktioperhe kuuluu avaruuteen ja riippuu numeerisesta parametrista, niin funktionaalisten derivaattojen yhtälöstä tulee ensimmäisen asteen differentiaaliyhtälö, joka on kätevästi ratkaistavissa peräkkäisten approksimaatioiden menetelmällä [2] . $x(t)$ $L_{{2}}$

Jos funktionaali ei riipu pelkästään funktiosta , vaan myös yhdestä tai useammasta numeerisesta parametrista, niin funktionaalisten derivaattojen yhtälöstä tulee integro-differentiaaliyhtälö, joka voidaan myös ratkaista peräkkäisten approksimaatioiden menetelmällä [3] . $U$ $x(t)$

Muistiinpanot

↑ Levy, 1967 , s. 107-108.
↑ Levy, 1967 , s. 108-110.
↑ Levy, 1967 , s. 110-112.

Kirjallisuus

Levy P. Funktionaalisen analyysin konkreettisia ongelmia. — M .: Nauka , 1967. — 509 s.