Schwingerin yhtälöt

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 16. maaliskuuta 2021 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 3 muokkausta .

Schwinger-yhtälöt ovat yhtälöjärjestelmä , joka liittyy Greenin funktioihin kvanttikenttäteoriassa . Julian Schwingerin esitteli vuonna 1951.

Schwinger-yhtälöt voidaan muotoilla yhtenä yhtälönä variaatioderivaataina :

\left\{{\frac ({\overrightarrow {\delta }}S(\varphi )}{\delta \varphi (x))){\bigg |}_{\varphi =\chi {\frac {\overrightarrow {\delta }}{\delta iA}}}+A(x)\right\}G(A)=0,

missä on toimintafunktio , on kokonaisten Greenin toimintojen generoiva funktio . Funktionaalin argumentti on klassinen objekti, joka on luonteeltaan samanlainen kuin kenttä , eli tavanomainen funktio bosoneille ja anticommuting-funktio fermioneille , - vasen variaatioderivaata , bosonisessa tapauksessa, fermionisessa tapauksessa. $S(\varphi )$ $G(A)$ $Kirves)$ $\varphi$ ${\frac {\overrightarrow {\delta )){\delta iA))$ $\chi =+1$ $\chi =-1$

Teorialle, jossa on toimintapolynomi kentässä , tämä yhtälö on äärellisen kertaluvun yhtälö variaatioderivaataissa. Se määrittää ratkaisun vain numeeriseen tekijään asti – Greenin funktion generoiva funktio ilman tyhjiösilmukoita on yksikäsitteisesti määritetty , missä on vapaan teorian Greenin funktioiden generoiva funktio. $H(A)=G_{0}^{-1}G(A)$ $G_{0}$

Kun yhtälössä on tehty substituutio ja pienennetty kertoja differentioinnin jälkeen , saadaan Schwinger-yhtälö yhdistettyjen Greenin funktioiden generoivalle funktiolle . ${\displaystyle G(A)=e^{W(A)))$ $e^{W(A)}$ $W(A)$ $W_{n}$

Esitetty sarjana $W(A)$

W(A)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {W_{n}(iA)^{n}}{n!}},

ja vertaamalla kaikkien potenssien kertoimia , saadaan yhdistetyille Greenin funktioille linkitetty yhtälöjärjestelmä . $iA$ $W_{n}$

Schwingerin yhtälö kvanttielektrodynamiikassa

Schwinger-yhtälöiden saamiseksi otetaan käyttöön klassiset ulkoisten kenttien lähteet. Esimerkiksi hiukkasten, joiden spin on 1/2, kvanttielektrodynamiikassa yksinkertaisimmassa versiossa riittää, että Lagrangian tuodaan kvantisoidun fotonikentän vuorovaikutus ulkoisen sähkömagneettisen kentän lähteen kanssa minimimuodossa - . Tästä johtuen on mahdollista saada Greenin funktioita suurella määrällä fotonipäitä funktionaalisella variaatiolla klassisen lähteen yli . Sirontamatriisista tulee lähdefunktio . On myös kätevää ottaa käyttöön fotonikentän operaattorin keskimääräinen havaittu arvo (ottaen huomioon kvanttikorjaukset): $A^{\mu }(x)$ $J_{\mu }(x)$ ${\displaystyle J_{\mu }A^{\mu ))$ $J_{\mu }(x)$ $S[J]$

{\mathcal {A^{\mu }}}(x)={\frac {1}{S_{0}[J]}}\langle 0\vert T\{A^{\mu }( x)S[J]\}\vert 0\rangle =i{\frac {\delta \ln S_{0}[J]}{\delta J_{\mu }(x))),

missä on operaattoreiden keskiarvo tyhjiötilojen yli vuorovaikutusesityksessä , symboli ilmaisee operaattoreiden kronologista järjestystä , on variaatioderivaata . $S_{0}[J]\equiv \langle 0\vert S[J]\vert 0\rangle ,\mu =0,1,2,3.$ $\langle 0\vert \cdots \vert 0\rangle$ $T$ ${\frac {\delta }{\delta J_{\mu }(x)))),$

Tuloksena kaksipisteisen fermionisen Greenin funktiolle

G(x,y\vert J)=-{\frac {i}{S_{0}[J]}}\langle 0\vert T\{\psi (x){\overline {\psi } }(y)S[J]\}\vert 0\rangle ,

missä on fermionisen (elektroni-positronin) kentän spinorioperaattori ja operaattorin yläpuolella oleva palkki tarkoittaa Dirac-konjugaatiota , meillä on Dirac- tyyppinen yhtälö : $\psi(x)$

\left\{\gamma _{\mu }\left[{\frac {\partial }{\partial x_{\mu ))}-e{\mathcal {A^{\mu ))}(x )\right]-m-ie\gamma _{\mu }{\frac {\delta }{\delta J_{\mu }(x)))\right\}G(x,y\vert J)=\ delta ^{4}(xy),

missä ovat Dirac-matriisit ja elektronin varaus ja massa. Fotonikentän operaattorin keskiarvolle saadaan Maxwell -yhtälön tyyppinen yhtälö (yhtälön oikealla puolella oleva toinen termi tarkoittaa kvanttikorjauksia klassiseen virtaan ): $\gamma_{\mu}$ $e,m$ ${\mathcal {A^{\mu ))}(x)$ $J$

\Box {\mathcal {A^{\mu }}}(x)=-J_{\mu }(x)+ie\mathrm {Tr} [\gamma _{\mu }G(x,x \vert J)],

jossa jälki on otettu spinoriindekseihin. Tuloksena olevia yhtälöitä, joiden avulla on mahdollista määrittää ja annetuista lähteistä , kutsutaan Schwinger-yhtälöiksi . $J_{\mu }(x)$ $G(x,y\vert J)$ ${\mathcal {A^{\mu ))}(x)$

Kahden pisteen fotonin Greenin funktio voidaan löytää käyttämällä suhdetta

G^{\mu \nu }(x,y\vert J)=-{\frac {\delta A^{\mu }(x)}{\delta J^{\nu }(y)} }=-i{\frac {\delta ^{2}\ln S_{0}[J]}{\delta J_{\mu }(x)\delta J_{\nu }(y))).

Suuruutta kutsutaan generoivaksi funktionaaliseksi . $Z[J]\equiv i\ln S_{0}[J]$

Kolmen pisteen kärkiosa määritellään seuraavasti:

\Gamma _{\mu }(x,y,z)=-{\frac {\delta }{\delta A^{\mu ))}G^{-1}(x,y\vert J ),

missä on fermionisen Greenin funktion käänteisoperaattori. Schwingerin yhtälöt liittyvät läheisesti Dysonin yhtälöihin . Schwinger johti myös yhtälön kahden hiukkasen (fermionin) neljän pisteen Greenin funktiolle. Ulkoisen kentän puuttuessa tämä yhtälö vastaa Bethe-Salpeterin yhtälöä . $G^{-1}$

Kirjallisuus

Vasiliev AN § 7.1 Schwinger-yhtälöt // Funktionaaliset menetelmät kvanttikenttäteoriassa ja tilastoissa. - L . : Leningradin yliopiston kustantamo, 1976. - S. 72-74. - 295 s.
Bogolyubov HH, Shirkov DV Luku VI. Yleisen erojen eliminointiteorian soveltaminen // Johdatus kvantisoitujen kenttien teoriaan,. - 4. painos,. - M .: Nauka, 1984. - T. 4. - S. 389. - 600 s.
Physical Encyclopedia / Ch. toim. A. M. Prokhorov. Ed. Kreivi D. M. Alekseev, A. M. Baldin, A. M. Bonch-Bruevich, A. S. Borovikov ja muut - Soviet Encyclopedia, 1988. - ISBN 5-85270-034-7 .