Dieckmann-toiminto

Analyyttisessä lukuteoriassa Dieckmann-funktio (toinen nimi on Dieckmann-de Bruijn-funktio ) ρ on erityinen funktio , jota käytetään estimoimaan tasaisten lukujen lukumäärä tietyllä rajalla. Funktio esiintyi ensimmäisen kerran Karl Dieckmannissa hänen ainoassa matematiikkaa käsittelevässä artikkelissaan [1] . Funktiota tutki myöhemmin tanskalainen matemaatikko Nicholas de Bruijn [2] [3] .

Määritelmä

Diekmann-de Bruijn-funktio on jatkuva funktio , joka tyydyttää differentiaaliyhtälön siirtymällä ${\näyttötyyli \rho (u)}$

u\rho '(u)+\rho (u-1)=0

alkuehdoilla 0 ≤ u ≤ 1. $\rho (u)=1$

Dickman osoitti sen heurististen näkökohtien perusteella

\Psi (x,x^{1/a})\sim x\rho (a)

missä on x:tä pienempien y - sileiden kokonaislukujen määrä . $\Psi(x,y)$

V. Ramaswami antoi myöhemmin tiukan todisteen siitä

\Psi (x,x^{1/a})=x\rho (a)+O(x/\log x)

merkinnöissä Big O [4] .

Sovellukset

Diekmann-de Bruijn-funktio löytää pääsovelluksensa tasaisten kokonaislukujen esiintymistiheyden arvioinnissa annetuissa rajoissa. Funktiolla voidaan optimoida erilaisia lukuteoreettisia algoritmeja, vaikka se on sinänsä mielenkiintoinen.

Käyttämällä , voidaan osoittaa, että [5] $\log \rho$

{\displaystyle \Psi (x,y)=xu^{O(-u)))

joka liittyy alla olevaan arvioon. ${\näyttötyyli \rho (u)\noin u^{-u))$

Golomb-Dickmann-vakiolla on vaihtoehtoinen määritelmä Dieckmann-de Bruijn-funktiolle.

Arvio

Yksinkertainen likiarvo voi toimia . Paras arvio on [6] $\rho (u)\noin u^{-u}.$

\rho (u)\sim {\frac {1}{\xi {\sqrt {2\pi u))))\cdot \exp(-u\xi +\operaattorinimi {Ei} (\xi ) )

missä Ei on integraali eksponentiaalinen funktio ja ξ on yhtälön positiivinen juuri

e^{\xi }-1=u\xi .

Yksinkertaisen ylärajan antaa $\rho (x)\leq 1/x!.$

$u$	${\näyttötyyli \rho (u)}$
yksi	yksi
2	3,0685282⋅10 -1
3	4,8608388⋅10 -2
neljä	4,9109256⋅10 -3
5	3,5472470⋅10 -4
6	1,9649696⋅10 -5
7	8,7456700⋅10 -7
kahdeksan	3,2320693⋅10 -8
9	1,0162483⋅10 -9
kymmenen	2,7701718⋅10 -11

Laskenta

Jokaiselle välille [ n − 1, n ], jonka kokonaisluku on n , on olemassa analyyttinen funktio , joka . Jos 0 ≤ u ≤ 1, . Jos 1 ≤ u ≤ 2, . Jos 2 ≤ u ≤ 3, $\rho _{n}$ $\rho _{n}(u)=\rho (u)$ $\rho (u)=1$ $\rho (u)=1-\log u$

\rho (u)=1-(1-\log(u-1))\log(u)+\operaattorinimi {Li} _{2}(1-u)+{\frac {\pi ^ {2}}{12}}

jossa Li 2 on dilogaritmi . Loput voidaan laskea käyttämällä ääretöntä sarjaa [7] . $\rho _{n}$

Vaihtoehtoinen laskentamenetelmä voi olla ylä- ja alarajan määrittäminen puolisuunnikkaan menetelmällä [6] [8] .

Laajennus

Bach ja Peralta määrittelivät funktion kaksiulotteisen analogin [7] . Tätä funktiota käytetään arvioimaan funktio , joka on samanlainen kuin de Bruijn-funktio, mutta ottaen huomioon niiden y - sileiden kokonaislukujen lukumäärän, joissa vähintään yksi alkutekijä on suurempi kuin z . Sitten ${\näyttötyyli \sigma (u,v)}$ ${\näyttötyyli \rho (u)}$ ${\näyttötyyli \Psi(x,y,z)}$

\Psi (x,x^{1/a},x^{1/b})\sim x\sigma (b,a).

Linkit

↑ Dickman, K. Tietyn suhteellisen suuruuden alkutekijöitä sisältävien lukujen taajuudesta // Arkiv för Matematik, Astronomi och Fysik : journal. - 1930. - Voi. 22A , no. 10 . - s. 1-14 .
↑ de Bruijn, NG Positiivisten kokonaislukujen lukumäärästä ≤ x ja ilman alkutekijöitä > y // Indagationes Mathematicae : päiväkirja. - 1951. - Voi. 13 . - s. 50-60 . Arkistoitu alkuperäisestä 21. huhtikuuta 2013.
↑ de Bruijn, NG Positiivisten kokonaislukujen lukumäärästä ≤ x ja ilman alkutekijöitä > y , II // Indagationes Mathematicae : päiväkirja. - 1966. - Voi. 28 . - s. 239-247 . Arkistoitu alkuperäisestä 16. helmikuuta 2012.
↑ Ramaswami, V. Positiivisten kokonaislukujen lukumäärästä, jotka ovat pienempiä kuin x ja ilman alkujakajia, jotka ovat suurempia kuin x c $x$ // Bulletin of the American Mathematical Society : Journal . - 1949. - Voi. 55 . - s. 1122-1127 .
↑ Hildebrand, A.; Tenenbaum, G. Kokonaisluvut ilman suuria alkutekijöitä (neopr.) // Journal de théorie des nombres de Bordeaux. - 1993. - V. 5 , nro 2 . - S. 411-484 . Arkistoitu alkuperäisestä 27. huhtikuuta 2019.
↑ 1 2 van de Lune, J.; Wattel, E. Analyyttisessä lukuteoriassa nousevan differentiaali-eroyhtälön numeerisesta ratkaisusta // Laskennan matematiikka : päiväkirja. - 1969. - Voi. 23 , ei. 106 . - s. 417-421 . - doi : 10.1090/S0025-5718-1969-0247789-3 .
↑ 12 Bach , Eric; Peralta, Rene. Asymptoottiset puolismoothness-todennäköisyydet // Laskennan matematiikka : päiväkirja. - 1996. - Voi. 65 , no. 216 . - s. 1701-1715 . - doi : 10.1090/S0025-5718-96-00775-2 . Arkistoitu alkuperäisestä 16. kesäkuuta 2016.
↑ Marsaglia, George; Zaman, Arif; Marsaglia, John CW Joidenkin klassisten differentiaali-eroyhtälöiden numeerinen ratkaisu // Laskennan matematiikka : päiväkirja. - 1989. - Voi. 53 , no. 187 . - s. 191-201 . - doi : 10.1090/S0025-5718-1989-0969490-3 .

Ulkoiset linkit

Broadhurst, David (2010), Dickman-polylogaritmit ja niiden vakiot, arΧiv : 1004.0519 .
Soundararajan, K. (2010), Dickman-funktioon liittyvä asymptoottinen laajennus, arΧiv : 1005.3494 .
Weisstein, Eric W. Dickman -funktio (englanniksi) Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .