Lommel-toiminto

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 24. helmikuuta 2020 tarkistetusta versiosta . vahvistus vaatii 1 muokkauksen .

Lommel-funktio on ei-alkeisfunktio, joka on erityinen ratkaisu epähomogeeniseen Besselin yhtälöön :

{\displaystyle z^{2}{\frac {d^{2}f}{dz^{2}}}+z{\frac {df}{dz}}+(z^{2}-\nu ^ {2})f=z^{\mu +1))

Esitteli saksalainen matemaatikko Eigen von Lommel [1] [2] .

Lommel-funktion integraalinen ilmaus:

{\mathsf {G}}_{\nu ,\mu }(x)={\frac {\pi }{2}}\left(N_{\nu }(x)\cdot \int _{ 0}^{x}J_{\nu }(t)\cdot t^{\mu }dt-J_{\nu }(x)\cdot \int _{0}^{x}N_{\nu }( t)\cdot t^{\mu }dt\oikea)

missä on Besselin funktio ; on Neumannin funktio . $J_{\nu }(x)$ $N_{\nu }(x)$

Lommel-toiminnon laajentaminen sarjassa:

{\mathsf {G}}_{\nu ,\mu }(x)={\frac {x^{\mu }}{4}}\sum _{k=0}^{\infty } {\frac {(-1)^{k}\cdot \left({\frac {x}{2}}\right)^{2k}}{\left({\frac {\mu +\nu }{ 2}}\oikea)_{k+1}\cdot \left({\frac {\mu -\nu }{2}}\oikea)_{k+1}}}

missä on Pochhammer-symboli . ${\displaystyle \left(a\right)_{k))$

Muistiinpanot

↑ Lommel, E. Ueber eine mit den Bessel'schen Functionen verwandte Function (saksa) // Mathematische Annalen . - 1875. - Bd. 9 , ei. 3 . — S. 425–444 . (linkki ei saatavilla)
↑ Lommel, E. Zur Theorie der Bessel'schen Funktionen IV (saksa) // Mathematische Annalen. - 1880. - Bd. 16 , ei. 2 . — S. 183–208 . (linkki ei saatavilla)

Kirjallisuus

"Lommel-funktio" - artikkeli Encyclopedia of Mathematicsista

Linkit

Weisstein, Eric W. Lommel Function (englanniksi) Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .