Lyapunov-toiminto

Differentiaaliyhtälöiden ratkaisujen stabiilisuuden teoriassa Ljapunov-funktio on skalaarifunktio, jota käytetään tavallisen differentiaaliyhtälön tai tavallisten differentiaaliyhtälöjärjestelmän ratkaisujen stabiiliuden tutkimiseen käyttäen toista (suoraa) Ljapunov-menetelmää.

Se on nimetty venäläisen matemaatikon ja mekaanikon Aleksanteri Mihailovitš Ljapunovin (1857-1918), nykyaikaisen vakausteorian perustajan [1] mukaan .

Kuvaus

Yleisissä stabiilisuusteoreemoissa Ljapunov-funktion olemassaolo, jolla on tietyt ominaisuudet, on riittävä ehto liikeyhtälön ratkaisun stabiiliudelle (epävakaudelle). Lauseet ovat kuitenkin palautuvia, ja monille tavallisten differentiaaliyhtälöiden luokille Ljapunov-funktioiden olemassaolo on myös välttämätön ehto.

Ljapunovin toinen menetelmä ei vaadi itse differentiaaliyhtälöiden ratkaisujen löytämistä, minkä ansiosta on mahdollista tutkia monimutkaisia epälineaarisia järjestelmiä . Sopivan Ljapunov-funktion löytäminen on kuitenkin aina ollut erittäin vaikea tehtävä. On olemassa useita tutkittuja tapauksia, joille stabiilisuuskriteeri johdetaan teoreettisesti yleisten lauseiden ja Ljapunov-funktioiden avulla. Esimerkiksi vakaus ensimmäisessä approksimaatiossa. Tästä johtuen toinen Ljapunov-menetelmä on lähinnä teoreettisesti kiinnostava menetelmä, koska apufunktioiden rakentaminen vaatii tutkijalta poikkeuksellista matemaattista intuitiota. Tällä menetelmällä on kuitenkin myös tärkeä käytännön arvo [2] .

Siitä huolimatta Ljapunov-funktion menetelmän tärkein etu verrattuna muihin lähestymistapoihin erilaisten vakausongelmien ratkaisemiseksi on sen universaalisuus. Nyt se on ainoa matemaattinen menetelmä, jolla voidaan tutkia minkä tahansa epälineaarisen muodon ja minkä tahansa ulottuvuuden dynaamisten järjestelmien stabiilisuutta .

Häiriintyneet liikeyhtälöt [3]

Vakauden tutkimiseksi alkuyhtälöt muunnetaan häiriintyneen liikkeen yhtälöiksi.

Esitetään jokin differentiaaliyhtälöjärjestelmä

{\frac {dy_{i}}{dt}}=Y_{i}(t,y_{1},y_{2},...,y_{n}),

$y_{i}=f_{i}(t)$ on tämän järjestelmän erityinen ratkaisu. Pidämme sitä häiriöttömänä, kun taas muut liikkeet häiriintyvät.

Sitten sen stabiilisuuden tutkimiseksi on tarpeen muodostaa häiriöliikkeen yhtälöt.

Merkitään valitun liikkeen häiriötä. $x_{i}=y_{i}-f_{i}(t)$

Sitten ${\frac {dx_{i}}{dt}}={\frac {dy_{i}}{dt}}-{\frac {df_{i}}{dt}}=Y_{i}( t,x_{1}+f_{1},x_{2}+f_{2},...,x_{n}+f_{n})-Y_{i}(t,f_{1},f_ {2},...,f_{n})=X_{i}(t,x_{1},x_{2},...,x_{n}).$

Jokainen alkuperäisen järjestelmän liike vastaa uuden järjestelmän ratkaisua. Tässä tapauksessa häiriötön ratkaisu vastaa ratkaisua . Tämä näkyy yhtälöistä $x_{1}=x_{2}=...=x_{n}=0.$ $X_{i}(t,0,0,...,0)=0.$

Lyapunov-funktion määritelmä (autonomille järjestelmille) [3]

Olkoon häiriöliikkeen järjestelmä, joka koostuu tavallisista differentiaaliyhtälöistä: $n$

{\frac {dx_{i}}{dt}}=X_{i}(x_{1},x_{2},...,x_{n})

i=1,2,3,...,n.

Lisäksi olkoon määritelty ja jatkuva alueella (jossa jokin positiivinen vakio) ja häviämään muuttujien nolla-arvoissa. $X_{i}$ $|x_{i}|\leq H$ $H$

Lyapunov-funktio on muuttujien funktio, joka ottaa todellisia arvoja ja täyttää seuraavat ominaisuudet: $n$ $V(x_{1},x_{2},...,x_{n}),$

Toiminto on yksiselitteinen;
$V(0,0,...,0)=0;$
Jatkuva yhdessä osittaisten johdannaisten kanssa.

$V=V(x_{1},x_{2},...,x_{n})$ kutsutaan merkkimääräiseksi (ehkästi positiiviseksi tai ehdottomasti negatiiviseksi), jos se saa alueella vain yhden merkin arvon ja katoaa vain origossa. $|x_{i}|\leq h\leq H$

$V=V(x_{1},x_{2},...,x_{n})$ kutsutaan vakiomerkiksi (positiiviseksi tai negatiiviseksi), jos se ottaa alueella vain yhden merkin arvoja ja katoaa paitsi origossa. $|x_{i}|\leq h\leq H$

$V=V(x_{1},x_{2},...,x_{n})$ kutsutaan etumerkkimuuttujaksi, jos se ottaa eri arvoja.

Ljapunovin lauseet autonomisille järjestelmille

Päästää

x^{*}=0

on autonomisten differentiaaliyhtälöjärjestelmän tasapainopiste

{\piste {x}}=f(x),

Anna olla

{\piste {V}}(x)={\frac {\partial V}{\partial x}}\cdot {\frac {dx}{dt}}=\nabla V\cdot {\piste {x}} =\nabla V\cdot f(x)

on Ljapunov-funktion ehdokkaan aikajohdannainen $V.$

Tasapainopisteen vakaus

Jos Ljapunov -ehdokasfunktio on paikallisesti positiivinen ja aikaderivaata on paikallisesti epäpositiivinen: $V$

{\piste {V}}(x)\leq 0\quad \forall x\in {\mathcal {B}}\setminus \{0\}

jossain pisteen naapurustossa, tasapainopiste on vakaa. ${\mathcal {B}}$ $0,$

Paikallinen asymptoottinen vakaus

Jos Ljapunov-ehdokasfunktio on paikallisesti positiivinen ja aikaderivaata paikallisesti negatiivinen: $V$

{\piste {V}}(x)<0\quad \forall x\in {\mathcal {B}}\setminus \{0\}

jossain pisteen naapurustossa tasapainopiste on paikallisesti asymptoottisesti stabiili. ${\mathcal {B}}$ $0,$

Globaali asymptoottinen vakaus

Jos Ljapunov-ehdokasfunktio on globaalisti positiivinen, radiaalisesti rajaton ja aikaderivaata on globaalisti negatiivinen: $V$

{\piste {V}}(x)<0\quad \forall x\in {\mathbb {R}}^{n}\setminus \{0\},

silloin tasapainopiste on globaalisti asymptoottisesti stabiili.

Lyapunov-ehdokasfunktio on säteittäisesti rajaton jos $V(x)$

\|x\|\to \infty \Rightarrow V(x)\to \infty .

Esimerkki

Tarkastellaan seuraavaa differentiaaliyhtälöä ratkaisun x ollessa päällä $\mathbb {R} :$

{\piste x}=-x.

Kun otetaan huomioon, että funktio on positiivinen missä tahansa origon ympäristössä ilman nollapistettä, se on luonnollinen ehdokas Ljapunov-funktiolle käyttäytymisen tutkimiseksi . $x^{2}$ $x.$ ${\displaystyle V(x)=x^{2))$ $\mathbb {R} \setminus \{0\}.$

{\piste {V}}(x)=V'(x)f(x)=2x\cpiste (-x)=-2x^{2}<0.

Tämä osoittaa, että differentiaaliyhtälön tasapainopiste on asymptoottisesti stabiili, ja koska funktio on säteittäisesti rajaton, tasapainopiste on globaalisti asymptoottisesti stabiili. ${\displaystyle V(x)=x^{2))$

Muistiinpanot

↑ Ljapunov A. M. Vakauden yleinen ongelma. - Moskovan Leningrad: valtion teknisen ja teoreettisen kirjallisuuden julkaisu, 1950.
↑ Rush N., Abets P., Lalua M. Suora Ljapunov-menetelmä stabiilisuusteoriassa. - Moskova: Mir, 1980. - S. 7-8. – 300 s.
↑ 1 2 Malkin I. G. Vakausteoria. - Moskova: Nauka, 1966. - 531 s.

Linkit

Weisstein, Eric W. Lyapunov Function (englanniksi) Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .
Khalil, H.K. Epälineaariset järjestelmät. - Prentice Hall Upper Saddle River, NJ, 1996.
La Salle, Joseph. Vakaus Liapunovin suoralla menetelmällä: sovelluksilla / Joseph La Salle, Solomon Lefschetz. - New York: Academic Press, 1961.

Bibliografisissa luetteloissa	BNF : 119777049 GND : 4274502-0 J9U : 987007565686405171 LCCN : sh85076428 LNB : 000308007