Tavoitefunktio

Tavoitefunktio on useiden muuttujien  reaali- tai kokonaislukufunktio , joka on optimoitu ( minimointi tai maksimointi ) jonkin optimointiongelman ratkaisemiseksi. Termiä käytetään matemaattisessa ohjelmoinnissa, operaatiotutkimuksessa , lineaarisessa ohjelmoinnissa , tilastollisessa päätösteoriassa ja muilla matematiikan alueilla, ensisijaisesti soveltavassa luonteessa, vaikka optimoinnin tavoitteena voi olla myös itse matemaattisen ongelman ratkaisu [1] . Tavoitefunktion lisäksi optimointitehtävässä muuttujiin voi kohdistua rajoituksia yhtäläisyys- tai epäyhtälöjärjestelmän muodossa. Yleisessä tapauksessa tavoitefunktion argumentit voidaan määrittää mielivaltaisissa joukoissa.

Esimerkkejä

Sileät funktiot ja yhtälöjärjestelmät

Minkä tahansa yhtälöjärjestelmän ratkaisemisen ongelma

voidaan muotoilla tavoitefunktion minimoimisen ongelmaksi

Jos funktiot ovat sileitä, minimointiongelma voidaan ratkaista gradienttimenetelmillä .

Jokaiselle tasaiselle tavoitefunktiolle voidaan rinnastaa osittaiset derivaatat kaikkien muuttujien suhteen. Optimaalinen tavoitefunktio on yksi ratkaisuista tällaiseen yhtälöjärjestelmään. Kun kyseessä on funktio, tämä on pienimmän neliösumman (LSM) yhtälöjärjestelmä . Mikä tahansa alkuperäisen järjestelmän ratkaisu on pienimmän neliösumman järjestelmän ratkaisu. Jos alkuperäinen järjestelmä on epäjohdonmukainen, niin LSM-järjestelmä, jolla on aina ratkaisu, mahdollistaa alkuperäisen järjestelmän likimääräisen ratkaisun saamisen. LSM-järjestelmän yhtälöiden lukumäärä osuu yhteen tuntemattomien määrän kanssa, mikä joskus helpottaa yhteisten alkujärjestelmien ratkaisemista.

Lineaarinen ohjelmointi

Toinen hyvin tunnettu esimerkki tavoitefunktiosta on lineaarinen funktio, jota esiintyy lineaarisissa ohjelmointiongelmissa. Toisin kuin neliöllinen tavoitefunktio, lineaarisen funktion optimointi on mahdollista vain, jos on olemassa rajoituksia lineaaristen yhtäläisyyksien tai epäyhtälöiden järjestelmän muodossa.

Kombinatorinen optimointi

Tyypillinen esimerkki kombinatorisesta tavoitefunktiosta on matkustavan myyjä - ongelman tavoitefunktio . Tämä funktio on yhtä suuri kuin Hamiltonin syklin pituus kuvaajassa . Se on annettu graafin kärjen permutaatioiden joukossa [2] ja sen määrittää graafin reunan pituusmatriisi. Tällaisten ongelmien tarkka ratkaisu riippuu usein vaihtoehtojen luettelemisesta.

Muistiinpanot

  1. ↑ Kohdefunktio, matemaattinen ohjelmointi // Mathematical Encyclopedic Dictionary. - M . : "Pöllöt. tietosanakirja" , 1988.
  2. ↑ Tällainen yksi yhteen permutaatio määrittelee Hamiltonin syklin graafin reunapituuksien epäsymmetriselle matriisille.

Katso myös

Kirjallisuus