Wave Pack

Aaltopaketti ( aaltojono ) on tietty joukko eri taajuuksia omaavia aaltoja , jotka kuvaavat muodostumaa, jolla on aaltoominaisuudet ja jotka ovat yleensä rajoitettuja ajassa ja tilassa. Siten kvanttimekaniikassa hiukkasen kuvaus aaltopakettien muodossa auttoi aaltofunktion neliömoduulin tilastollisen tulkinnan hyväksymistä [1] .

Mielivaltainen yksittäinen aalto sädevektorin ja ajan funktiona kuvataan lausekkeella $\psi ({\mathbf {r}},t)$ $\mathbf {r}$ $t$

${\displaystyle {{\psi }({\mathbf {r} },t)}={A}~{\exp {(-i({\omega }t-{\mathbf {k} }{\mathbf { r} })))))={A}~{\exp {\frac {-i(Et-{\mathbf {p} }{\mathbf {r} })}{\hbar ))))$

missä on kuvitteellinen yksikkö, on aallon kuljettama energia , on pelkistetty Planck-vakio , on aallon kuljettama liikemäärä , on sen syklinen taajuus (normaalitaajuus kertaa ), on aaltoluku (määritelty muodossa ; tässä on aallon nopeus valo). $i$ $E$ $\hbar$ $s$ $\omega$ $2\pi$ $k$ $k={\frac {2{\pi }}{\lambda }}={\frac {p}{\hbar }}$ $c~-$

Yksittäisen lepomassan omaavan hiukkasen aaltokuvauksessa on tarpeen laskea yhteen tietty määrä aaltoja, joilla on lähellä taajuuksia, ja tässä tapauksessa aaltofunktio eroaa huomattavasti nollasta vain suhteellisen pienellä avaruuden alueella. Hanki aaltopaketti. $\psi(r,t)$

Muodostamme tasoaaltojen superpositiosta (joukosta) aaltopaketin, jonka aaltoluku vaihtelee välillä - (yksinkertaisuuden vuoksi oletetaan, että amplitudit pysyvät vakiona ja yhtä suurena välillä, jolla on pääarvo ): $k$ $k_{0}-{\frac {\Delta k}{2}}$ $k_{0}+{\frac {\Delta k}{2))$ ${\frac {A}{\Delta k))$

\psi (r,t)={\frac {A}{\Delta k}}\int \limits _{{k_{0}-{\frac {\Delta k}{2}}}}^{{k_ {0}+{\frac {\Delta k}{2}}}}\exp {\big (}-i(\omega t-kr){\big )}\,dk=\sum J_{n}\ psi _{n}

jossa nyt tarkoittaa tuloksena olevaa aaltofunktiota ja suureet osoittavat aaltojen osuutta , joista paketti muodostetaan, tuloksena olevaan aaltoon ja . $\psi(r,t)$ ${\näyttötyyli J_{n))$ $\psi_{n}$ $\sum J_{n}^{2}=1$

Ryhmän nopeus

Ryhmänopeus on dispersiivisen aaltoväliaineen kinemaattinen ominaisuus, joka yleensä tulkitaan kapean kvasi-monokromaattisen aaltopaketin maksimiamplitudiverhokäyrän nopeudeksi.

Laajennamme taajuutta Taylor-sarjassa [ 2] : n funktiona : $\omega$ $k$

\omega (k)=\omega _{0}+(k-k_{0})\omega _{0}'+{\frac {(k-k_{0})^{2}}{2}} \omega _{0}''+\pisteet

Sen jälkeen rajoittuen vain ensimmäiseen pienuusluokkaan suhteessa , löydämme: ${\displaystyle \Delta k=k-k_{0))$

\omega (k)=\omega _{0}+(k-k_{0})\omega _{0}'+\pisteet =\omega _{0}+\omega _{1}+\pisteet

Jälleen, kun otetaan huomioon vain ensimmäisen pienuusluokan ehdot, yli integroinnin jälkeen saadaan: $dk$

\psi (r,t)=B\exp {\big (}-i(\omega _{0}t-k_{0}r){\big )}

ja tuloksena oleva aaltopaketin amplitudi on yhtä suuri kuin $B$

B=A{\frac {\sin \xi }{\xi }}\,\qquad \xi ={\frac {\Delta k}{2}}\ (r-\omega _{0}'t)

Tästä seuraa, että amplitudi ei pysy vakiona avaruudessa eikä ajassa. Nähdään myös, että aaltopaketin spatiaalinen jakauma noudattaa samanlaista lakia , jossa , , ovat joitain suureita, jotka ovat yleensä muuttuvia ja riippuvat etäisyydestä päämaksimin pisteeseen ja ajasta. $B$ $a{\frac {\sin(bx)}{cx))$ $a$ $b$ $c$ $x$

Koko aaltopaketin ryhmänopeuden määrittämiseksi on tarpeen asettaa , ja sitten $u$ $\xi ={\rm {const))$

u={\frac {dr}{dt}}=\omega _{0}'

Harkitse nyt aaltopaketin spatiaalista jakautumista. Anna . Sitten . Aaltopaketin amplitudin neliö saavuttaa päämaksimin pisteessä c . Jäljellä olevat maksimit pienenevät vastaavasti: , , , ja pisteissä amplitudin neliö häviää. $t = 0$ $\xi =r{\frac {\Delta k}{2}}$ ${\displaystyle B^{2}=A^{2}{\frac {\sin ^{2}\xi }{\xi ^{2))))$ $\xi =0$ $B^{2}(\pm {\frac {3\pi }{2)))={\frac {4A^{2}}{9\pi ^{2}}}$ $B^{2}(\pm {\frac {5\pi }{2)))={\frac {4A^{2}}{25\pi ^{2}}}$ $\ldots$ $\pm \pi ,\pm 2\pi ,\dots$

Tästä johtuen voidaan olettaa, että aaltopaketin pääosan lokalisointialue sijaitsee päämaksimin läheisyydessä. On järkevintä "määrittää", että tämä alue vastaa puolta funktion ( ) ensimmäisten nollien välisestä etäisyydestä. Sitten käy ilmi, että . Näin ollen $\Delta r$ $\xi$ $B=A{\frac {\sin \xi }{\xi }}$ $\xi _{0}=\pm \pi$ $\Delta \xi ={\frac {\Delta k\Delta r}{2))=\pi$

\Delta k\Delta r=2\pi .

Matemaattisesti katsottuna aaltofunktio on kuitenkin nollasta poikkeava ja paketin ulkopuolella, joten olisi oikeampaa kirjoittaa

\Delta k\Delta r\geqslant 2\pi

Koska ( on aallonpituus) ja ( on Planckin vakio (ei vähennetty!)), tämä epäyhtälö voidaan myös kirjoittaa uudelleen muotoon ${\displaystyle k=2{\pi }/{\lambda ))$ ${\displaystyle {\lambda ))$ ${\lambda }=h/p$ $h$

{\Delta }p{\Delta }r{\geq }h

Se edustaa Heisenbergin epävarmuussuhdetta , joka on yksi kvanttimekaniikan perusperiaatteista. Tämä suhde pätee poikkeuksetta kaikkiin aaltoprosesseihin niiden luonteesta riippumatta. Joten radiotekniikassa ja optiikassa on yhteensopimattomuus vastaavien aaltoprosessien akuutissa lokalisoinnissa ajassa ja tilassa kapealla taajuusspektrillä. Esimerkiksi valikoiva radiovastaanotin ( ) ei pysty vastaanottamaan ajallisesti lyhyitä signaaleja jne. ${\Delta }{\omega }~{\rightarrow }~0$

Aaltopakettien leviäminen

Tarkastellaan lopuksi Taylor-sarjan laajennuksen ehtoja, jotka on hylätty yllä olevista kaavoista . Sellainen likiarvo ei tietenkään aina ole fyysisesti perusteltua. Dispersion puuttuessa ( ), kun kaikki aaltopaketin muodostavat monokromaattiset aallot etenevät samalla vaihenopeudella, aaltopaketin alkumuoto ei muutu ajan myötä ja sen amplitudin maksimi liikkuu alkunopeudella, joka on yhtä suuri kuin vaihenopeus. Jos dispersio kuitenkin poikkeaa nollasta ( ), eli jos yksittäisten aaltokomponenttien vaihenopeudet ovat erilaiset, paketin alkumuoto muuttuu ajan myötä, eli se leviää. ${\omega }$ ${\omega _{2}}=0$ ${\omega _{2}}~{\not =}~0$

Arvioidaan aaltopaketin leviämisaika. Tätä varten on otettava huomioon integraalia tarkasteltaessa Taylor-sarjan neliöllinen termi , joka hylätään ensimmäisessä approksimaatiossa. Sen huomioon ottaminen johtaa lisävaiheeseen ${\frac {A}({\Delta }k))\int \limits _{k_{0}-{\frac ({\Delta }k}{2))}^{k_{0}+ {\frac {{\Delta }k}{2}}}{\mathsf {exp}}(-i({\omega }t-kr))\,{\mathsf {d}}k$ ${\omega _{2}}(k)={\omega _{0}''}{\frac {(k-k_{0})^{2}}{2}}$

{\Delta }{\xi }~{\sim }~{\frac {({\Delta }k)^{2)){2)){\frac {({\osittainen }^{2} }{\omega }}{{\partial }{k}^{2}}}t

joka osoittautuu välttämättömäksi, jos se saavuttaa arvon . Näin ollen aaltopaketin leviämisajalle saadaan lauseke ${\pi }$ ${\Delta }t$

{\Delta }t~{\cong }~{\frac {2{\pi }}({\frac {{{\partial }^{2}}{\omega }}{{\partial }{ k}^{2}}}({\Delta }k)^{2}}}

Sovellamme nyt saatuja johtopäätöksiä de Broglie-aalloille. Ensinnäkin kiinnitetään huomiota siihen, että paketin amplitudi poikkeaa huomattavasti nollasta vain pienellä alueella, mikä voidaan liittää hiukkasen sijaintiin. Lisäksi de Broglie-aaltojen ( ) erityistapauksessa hiukkasen ryhmänopeus kokonaisuutena $E={\hbar }{\omega },~~p={\hbar }k$

{\bar {u}}={\frac {{\partial }{\omega }}({\partial }k}}={\frac {{\partial }E}{{\partial }p} }={\frac {{c^{2}}p}{E}}=v

täsmälleen sama kuin itse hiukkasen nopeus. Tämän ansiosta on mahdollista verrata aaltopakettien päämaksimien liikettä yksittäisten hiukkasten liikkeisiin. Siksi hiukkasen sijaintia avaruudessa voidaan luonnehtia aallon amplitudin neliöllä , joka on samanaikaisesti aaltofunktion moduulin neliö. $v$ ${B^{2}}={{\psi }^{*}}(r,t){\psi }(r,t)$

Otetaan nyt selvää: onko mahdollista yhdistää "psy"-aallot itse hiukkasen rakenteeseen vai kuvaavatko ne vain sen liikettä? Näkökulman, jonka mukaan se on mahdollista, ehdotti Erwin Schrödinger pian kvanttimekaniikan perustavanlaatuisen yhtälön löytämisen jälkeen . Hän ehdotti, että hiukkasen tulisi olla joukko avaruudessa levinneitä aaltoja ja sen tiheys tietyllä piste on yhtä suuri kuin . Tämä tulkinta osoittautui kuitenkin kestämättömäksi: kuten yllä on esitetty, aaltopaketin muodostavien aaltojen vaihenopeudet ovat erilaisia ja ajan myötä se alkaa levitä. ${{\psi }^{*}}(r,t){\psi }(r,t)$

Etsitään aaltopaketin leviämisaika de Broglien aalloista. Tässä tapauksessa edellisen Taylor-sarjan neliöllinen termi, joka määrittää varianssin, on yhtä suuri kuin

{\frac {{{\partial }^{2}}{\omega }}{({\partial }k}^{2}}}={\hbar }{\frac {{{\partial } ^{2}}{E}}{{{\partial }p}^{2}}}

Yksinkertaisuuden vuoksi rajoitamme ei-relativistiseen approksimaatioon ( on hiukkasen loppumassa). Sitten: $p~{\ll }~{m_{0}}c~,$ ${\näyttötyyli {m_{0))}$

{\frac {{\partial }E}{{\partial }p}}={\frac {p}{m_{0}}},~~~~~~{\frac {{{\partial }^{2}}{E}}{{{\partial }p}^{2}}}={\frac {1}{m_{0}}}

Aaltopaketin leviämisajan arvioimiseksi saamme (epävarmuussuhteen mukaisesti ja yllä olevan kaavan mukaan):

{\Delta }t~{\approx }~{\frac {h}({\frac {({\partial }^{2}}{E}}{{\partial }{p}^{2 ))}({\Delta }p)^{2}}}~{\noin }~{\frac {{m_{0}}({\Delta }r)^{2}}{h}}

Makroskooppisen hiukkasen, jonka massa on esimerkiksi 1 gramma ja koko cm, tapauksessa leviämisaika on sekuntia, eli sellainen aaltopaketti ei todellisuudessa leviä. Kun kyseessä on elektronin kaltainen mikrohiukkanen, jonka massa on suuruusluokkaa grammaa, cm, aaltopaketti leviää lähes välittömästi: sek. Koska mikropartikkelin aaltopaketti leviää yleensä hyvin nopeasti, niiden (hiukkasten) kuvaamiseksi onnistuneesti aaltopaketin tulisi koostua aalloista, joiden aaltoluvun leviäminen on pieni, eli . ${{\Delta }r}=0,1$ ${{\Delta }t}={10^{25}}$ ${10^{-27))$ ${{\Delta }r}~{\sim }~{10^{-13}}$ ${{\Delta }t}~{\sim }~{10^{-26))$ ${{\Delta }k}~{\ll }~{k_{0))$

Siten, jos Schrödingerin tässä suhteessa pitämä näkemys olisi oikea, elektroni ei voisi olla stabiili muodostuma. Lisäksi olisi mahdotonta selittää diffraktioilmiötä korvaamalla elektronisuihku useilla aaltopaketteilla.

Tällä hetkellä Max Bornin ehdottama toinen, "tilastollinen" tulkinta -aallosta hyväksytään . Tämän tulkinnan mukaan arvolla on todennäköisyys (tai todennäköisyystiheys ) löytää hiukkanen tietystä pisteestä avaruudesta tai äärettömän pieni (yleensä vain hyvin pieni) tilavuuselementti. ${\psi}$ ${{{\mid }{\psi }{\mid }}^{2}}=({\psi }^{*}}{\psi }$

Bornin ehdottama tilastollinen tulkinta ei liitä aaltofunktiota hiukkasen rakenteeseen. Erityisesti mikään ei "estä" elektronia pysymästä yleisesti pistemäisenä. Kun aaltofunktio muuttuu, vain todennäköisyys löytää hiukkanen jossain avaruuden pisteessä muuttuu. Tämän ajatuksen valossa aaltopaketin leviäminen on ristiriidassa hiukkasen stabiilisuuden kanssa. Monokromaattisen aallon rajatapauksessa hiukkanen löytyy yhtä suurella todennäköisyydellä mistä tahansa avaruuden pisteestä.

Katso myös

Muistiinpanot

↑ Aaltopaketti - artikkeli Physical Encyclopediasta
↑ Huomaa: Tässä ja alla olevissa kaavoissa alkuluvut tarkoittavat differentiaatiota aaltoluvun suhteen $k$

Kirjallisuus

AA Sokolov, IM Ternov Kvanttimekaniikka ja atomifysiikka. - M . : "Enlightenment", 1970. § 3.
L. A. Gribov, S. P. Mushtakova Quantum Chemistry. - M . : "Gardariki", 1999. Luku 1, s. neljätoista.
Landau L.D. , Lifshits E.M. Kvanttimekaniikka (ei-relativistinen teoria). - 6. painos, tarkistettu. — M .: Fizmatlit , 2004. — 800 s. - (" Teoreettinen fysiikka ", osa III). — ISBN 5-9221-0530-2 .
Sivukhin DV Yleinen fysiikan kurssi. — Painos 3, stereotyyppinen. - M . : Fizmatlit , MIPT , 2002. - T. IV. Optiikka. — 792 s. — ISBN 5-9221-0228-1 .