Osittainen geometria

Olkoon tulorakenne, joka koostuu pisteistä , viivoista ja lipuista . Piste sanotaan olevan sattuma linjalle, jos . Rakennetta kutsutaan äärelliseksi osittaiseksi geometriaksi , jos siinä on kokonaislukuja , jotka: $C=(P,L,I)$ $P$ $L$ $I\subseteq P\times L$ $s$ $l$ $(p,l)\in I$ $s,t,\alpha \geq 1$

Jokaiselle eri pisteparille ja molempiin pisteisiin on enintään yksi viiva. $s$ $q$
Jokainen viiva osuu johonkin pisteeseen. $s+1$
Jokainen piste kohtaa viivoja. $t+1$
Jos piste ja viiva eivät ole sattumanvaraisia, on olemassa täsmälleen sellaisia pareja , jotka ovat sattumanvaraisia ja sattuvat . $s$ $l$ $\alpha$ ${\näyttötyyli (q,m)\in I}$ $s$ $m$ $q$ $l$

Osageometria näillä parametreilla on merkitty . $pg(s,t,\alpha )$

Ominaisuudet

Pisteiden määrä saadaan kaavalla ja rivien määrä kaavalla . ${\frac {(s+1)(st+\alpha )}{\alpha }}$ ${\frac {(t+1)(st+\alpha )}{\alpha ))$
Rakenteen pistegraafi [1] on vahvasti säännöllinen graafi : . $pg(s,t,\alpha )$ $srg((s+1){\frac {(st+\alpha )}{\alpha )),s(t+1),s-1+t(\alpha -1),\alpha (t+ yksi ))$
Osittaiset geometriat ovat kaksijakoisia - kaksoisrakenne for on yksinkertaisesti rakenne . $pg(s,t,\alpha )$ $pg(t,s,\alpha )$

Erikoistapaukset

Yleistetyt nelikulmiot ovat täsmälleen osittaisia geometrioita . $pg(s,t,\alpha )$ $\alpha=1$
Steiner-järjestelmät ovat täsmälleen osittaisia geometrioita , joissa on . $pg(s,t,\alpha )$ $\alpha =s+1$

Yleistykset

Osittain lineaarista avaruutta kutsutaan puoliosittaisgeometriaksi, jos onkokonaislukuja , jotka: $S=(P,L,I)$ $s,t$ $\alpha \geq 1,\mu$

Jos piste ja viiva eivät ole sattumanvaraisia, on joko tai täsmälleen sellaisia pareja , jotka ovat sattumanvaraisia ja sattumanvaraisia . $s$ $\ell$ $0$ $\alpha$ ${\näyttötyyli (q,m)\in I}$ $s$ $m$ $q$ $\ell$
Jokaisella ei-kollineaarisella pisteparilla on täsmälleen yhteiset naapurit. $\mu$

Puoliosittaisgeometria on osittainen geometria, jos ja vain jos . $\mu =\alpha (t+1)$

On helppo osoittaa, että tällaisen geometrian kollineaarinen kuvaaja [1] on ehdottoman säännöllinen parametrien kanssa . ${\näyttötyyli (1+s(t+1)+s(t+1)t(s-\alpha +1)/\mu ,s(t+1),s-1+t(\alpha -1) ,\mu )}$

Hyvä esimerkki tällaisesta geometriasta saadaan ottamalla affiiniset pisteet ja vain ne suorat, jotka leikkaavat tason äärettömyydessä pisteessä kiinteässä Baer-alitasossa. Geometrialla on parametrit . $PG(3,q^{2})$ $(s,t,\alpha ,\mu )=(q^{2}-1,q^{2}+q,q,q(q+1))$

Muistiinpanot

↑ 1 2 Tietty osittaisgeometria P , jossa mitkä tahansa kaksi pistettä määrittelevät enintään yhden suoran, geometrian P kollineaarisuusgraafi tai pistegraafi on graafi, jonka kärjet ovat pisteet P , ja kaksi kärkeä on yhdistetty reunalla silloin ja vain jos ne määrittelevät rivin P :ssä. _

Kirjallisuus

Brouwer AE, van Lint JH Voimakkaasti säännölliset kuvaajat ja osittaiset geometriat // Luettelo ja suunnittelu / Jackson DM, Vanstone SA. Toronto: Academic Press, 1984. s. 85–122.
Bose RC Voimakkaasti säännölliset kaaviot, osittaiset geometriat ja osittain tasapainotetut mallit // Pacific J. Math. - 1963. - T. 13 . — S. 389–419 .
De Clerck F., Van Maldeghem H. Jotkut luokan 2 geometrioiden luokat // Handbook of Incidence Geometry. - Amsterdam: Pohjois-Hollanti, 1995. - S. 433-475.
Thas JA Partial Geometries // Handbook of Combinatorial Designs / Colbourn Charles J., Dinitz Jeffrey H.. - 2nd. — Boca Raton: Chapman & Hall/ CRC, 2007. — s. 557–561. — ISBN 1-58488-506-8 .
Debroey I., Thas JA Semipartiaalisista geometrioista // Journal of Combinatorial Theory Ser. A. - 1978. - T. 25 . — S. 242–250 .