Mersennen luku on muodon luku , jossa on luonnollinen luku ; tällaiset luvut ovat merkittäviä siinä mielessä, että jotkut niistä ovat alkulukuja suurille arvoille . Ne on nimetty ranskalaisen matemaatikon Marin Mersennen mukaan, joka tutki niiden ominaisuuksia 1600-luvulla.
Ensimmäiset Mersennen numerot [1] :
1, 3, 7, 15, 31, 63, 127, 255, 511, 1023, 2047, 4095, 8191, 16383, 32767, 65535, 131071, …Kaikille pätee seuraava: jos on komposiitti, niin se on myös komposiitti, mikä seuraa laajennuksesta:
.Tästä seuraa välittömästi: luku on alkuluku vain, jos luku on myös alkuluku. Käänteinen väite ei pidä paikkaansa yleisessä tapauksessa, pienin vastaesimerkki on .
Mikä tahansa alkuluvun yhdistelmäluvun jakaja on muotoa , jossa on luonnollinen luku (tämä on seurausta Fermatin pienestä lauseesta ).
Mersennen alkuluvut liittyvät läheisesti täydellisiin lukuihin . Eukleides osoitti, että muodon luku , jossa Mersennen luku on alkuluku, on täydellinen. Euler osoitti, että kaikki jopa täydelliset luvut tyhjennetään tällä kaavalla. (Mitä tulee parittomiin täydellisiin lukuihin, niiden olemassaolosta ei tiedetä mitään tähän mennessä.)
Kaikille muodon alkuluvuille eksponentti on myös aina alkuluku, joten Mersennen lukuja , joissa on alkueksponentti [2] , tutkitaan erityisesti (joissakin kirjoissa vain sellaisia lukuja pidetään Mersennen lukuina). Mersennen alkulukujen sarja alkaa näin [3] :
3 , 7 , 31 , 127 , 8191, 131 071, 524 287, 2 147 483 647 , 2 305 843 009 213 693 951 , 618 970 019 642 690 137 449 562 111 , 162 259 276 829 213 363 391 578 010 288 127 127 , 170 141 183 460 469 231 731 687 303 715 884 105 727 …Tunnettujen Mersennen alkulukujen eksponentit muodostavat sekvenssin [4] [5] :
2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127, 521, 607, 1279, 2203, 2281, 3217, 4253, 4423, 4253 , 4423 , 96493,1 , 23 209 , 44 497 , 86 243 , 110 503 , 132 049 , 216 091 , 756 839 , 859 433 , 1 257 787 , 1 398 269 , 2 976 221 , 3 021 377 , 6 972 593 , 13 466 917 20 996 , 6 972 011 , 24 036 583 , 25 964 951 , 30 402 457 , 32 582 657 , 37 156 667 , 42 643 801 , 42 643 801 , 43 112 801 , 43 112 801 , 43 112 609 801 , 43 112 609 ...Mersennen luvut saivat mainetta tehokkaalla algoritmilla Mersennen lukujen yksinkertaisuuden tarkistamiseksi – Luc-Lehmer-testillä . Siksi Mersennen alkuluvut ovat pitkään pitäneet johtoasemaa suurimpana tunnettuina alkulukuina [6] . Mersennen alkulukuja käytetään myös pseudosatunnaislukugeneraattoreiden rakentamiseen suurilla jaksoilla [7] , kuten Mersennen pyörre .
Suurin tunnettu alkuluku (tammikuusta 2019 lähtien) on Mersennen luku , jonka Patrick Laroche löysi 7. joulukuuta 2018 osana GIMPS - vapaaehtoista laskentaprojektia . Luvun desimaalimerkintä sisältää 24 862 048 numeroa [ 8] .
Kaiken kaikkiaan joulukuussa 2018 tiedetään 51 Mersennen alkulukua, kun taas sarjanumerot on luotettavasti määritetty vain 48 ensimmäiselle [9] numerolle. Erityisesti ei tiedetä, onko muita Mersennen alkulukuja pienempiä kuin tunnettu tietue. Mersennen 45. perusluku löydettiin kaksi viikkoa myöhemmin kuin 47. tunnettu Mersennen alkuluku , kun taas 46. tunnettu Mersennen alkuluku löydettiin vasta vuotta myöhemmin.
Vuonna 2009 GIMPS-projekti sai 100 000 dollarin palkinnon Electronic Frontier Foundationilta Mersennen alkuluvun löytämisestä alkuluvun, jonka desimaaliluku sisältää vähintään 10 miljoonaa numeroa [10] .
Kaksinkertainen Mersennen numero on muodon numero. Tammikuussa 2021 tunnetaan vain 4 tällaista alkulukua (arvolle).
Katalaani-Mersennen luvut ovat jäseniä numerosarjassa, joka alkaa 2:sta ja muodostetaan soveltamalla funktiotaedelliseen jäseneen; ensimmäiset elementit[11]:
2, 3, 7, 127 , 170141183460469231731687303715884105727 …Katalaani oletti, että nämä luvut olivat huippuluokkaa "tiettyyn rajaan asti".
Yleistetty Mersennen numero on muotoa:
.Tällainen yleistys johtuu siitä, mikä voidaan esittää kasvavan geometrisen progression ensimmäisten termien summana :
,toisin sanoen Mersennen luvut ovat yleistettyjen Mersennen numeroiden erikoistapaus . Joillekin arvoille ja yleistetyille Mersennen luvut ovat yksinkertaisia, esimerkiksi , , , , , , ja monet muut.
Ei tiedetä, onko Mersennen alkulukujen joukko äärellinen vai ääretön, ja niiden jakauman tiheys luonnollisten lukujen joukossa on tuntematon.
Ei tiedetä, onko Mersennen prime-kaksoislukuja olemassa .