Mersennen numero

Mersennen luku on muodon luku , jossa on luonnollinen luku ; tällaiset luvut ovat merkittäviä siinä mielessä, että jotkut niistä ovat alkulukuja suurille arvoille . Ne on nimetty ranskalaisen matemaatikon Marin Mersennen mukaan, joka tutki niiden ominaisuuksia 1600-luvulla. $M_{n}=2^{n}-1$ $n$ $n$

Ensimmäiset Mersennen numerot [1] :

1, 3, 7, 15, 31, 63, 127, 255, 511, 1023, 2047, 4095, 8191, 16383, 32767, 65535, 131071, …

Ominaisuudet

Kaikille pätee seuraava: jos on komposiitti, niin se on myös komposiitti, mikä seuraa laajennuksesta: $M_{n}$ $n$ $n=kl,k,l>1$ $M_{n}$

2^{n}-1=2^{kl}-1=(2^{k}-1)(2^{k(l-1)}+2^{k(l-2)} +\pisteet +1),

Tästä seuraa välittömästi: luku on alkuluku vain, jos luku on myös alkuluku. Käänteinen väite ei pidä paikkaansa yleisessä tapauksessa, pienin vastaesimerkki on . $M_{n}$ $n$ $M_{{11}}=2047=23\cdot 89$

Mikä tahansa alkuluvun yhdistelmäluvun jakaja on muotoa , jossa on luonnollinen luku (tämä on seurausta Fermatin pienestä lauseesta ). $M_{p}$ $s$ $2\cdot p\cdot k+1$ $k$

Mersennen alkuluvut liittyvät läheisesti täydellisiin lukuihin . Eukleides osoitti, että muodon luku , jossa Mersennen luku on alkuluku, on täydellinen. Euler osoitti, että kaikki jopa täydelliset luvut tyhjennetään tällä kaavalla. (Mitä tulee parittomiin täydellisiin lukuihin, niiden olemassaolosta ei tiedetä mitään tähän mennessä.) ${\tfrac {M_{p}(M_{p}+1)}{2}}=2^{{p-1}}(2^{p}-1)$ $M_{p}$

Mersennen alkuluku

Kaikille muodon alkuluvuille eksponentti on myös aina alkuluku, joten Mersennen lukuja , joissa on alkueksponentti [2] , tutkitaan erityisesti (joissakin kirjoissa vain sellaisia lukuja pidetään Mersennen lukuina). Mersennen alkulukujen sarja alkaa näin [3] : $2^{n}-1$ $n$ $M_{p}=2^{p}-1$ $s$

3 , 7 , 31 , 127 , 8191, 131 071, 524 287, 2 147 483 647 , 2 305 843 009 213 693 951 , 618 970 019 642 690 137 449 562 111 , 162 259 276 829 213 363 391 578 010 288 127 127 , 170 141 183 460 469 231 731 687 303 715 884 105 727 …

Tunnettujen Mersennen alkulukujen eksponentit muodostavat sekvenssin [4] [5] : $s$

2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127, 521, 607, 1279, 2203, 2281, 3217, 4253, 4423, 4253 , 4423 , 96493,1 , 23 209 , 44 497 , 86 243 , 110 503 , 132 049 , 216 091 , 756 839 , 859 433 , 1 257 787 , 1 398 269 , 2 976 221 , 3 021 377 , 6 972 593 , 13 466 917 20 996 , 6 972 011 , 24 036 583 , 25 964 951 , 30 402 457 , 32 582 657 , 37 156 667 , 42 643 801 , 42 643 801 , 43 112 801 , 43 112 801 , 43 112 609 801 , 43 112 609 ...

Mersennen luvut saivat mainetta tehokkaalla algoritmilla Mersennen lukujen yksinkertaisuuden tarkistamiseksi – Luc-Lehmer-testillä . Siksi Mersennen alkuluvut ovat pitkään pitäneet johtoasemaa suurimpana tunnettuina alkulukuina [6] . Mersennen alkulukuja käytetään myös pseudosatunnaislukugeneraattoreiden rakentamiseen suurilla jaksoilla [7] , kuten Mersennen pyörre .

Mersennen alkulukujen etsiminen

Suurin tunnettu alkuluku (tammikuusta 2019 lähtien) on Mersennen luku , jonka Patrick Laroche löysi 7. joulukuuta 2018 osana GIMPS - vapaaehtoista laskentaprojektia . Luvun desimaalimerkintä sisältää 24 862 048 numeroa [ 8] . $M_{82589933}=2^{82589933}-1$ $M_{82589933}$

Kaiken kaikkiaan joulukuussa 2018 tiedetään 51 Mersennen alkulukua, kun taas sarjanumerot on luotettavasti määritetty vain 48 ensimmäiselle [9] numerolle. Erityisesti ei tiedetä, onko muita Mersennen alkulukuja pienempiä kuin tunnettu tietue. Mersennen 45. perusluku löydettiin kaksi viikkoa myöhemmin kuin 47. tunnettu Mersennen alkuluku , kun taas 46. tunnettu Mersennen alkuluku löydettiin vasta vuotta myöhemmin. $M_{37156667}$ $M_{{43112609}}$ $M_{42643801}$

Vuonna 2009 GIMPS-projekti sai 100 000 dollarin palkinnon Electronic Frontier Foundationilta Mersennen alkuluvun löytämisestä alkuluvun, jonka desimaaliluku sisältää vähintään 10 miljoonaa numeroa [10] . $M_{{43112609}}$

Muunnelmia ja yleistyksiä

Kaksinkertainen Mersennen numero on muodon numero. Tammikuussa 2021 tunnetaan vain 4 tällaista alkulukua (arvolle). $M_{M_{n}}=2^{2^{n}-1}-1$ ${\näyttötyyli n=2,3,5,7}$

Katalaani-Mersennen luvut ovat jäseniä numerosarjassa, joka alkaa 2:sta ja muodostetaan soveltamalla funktiotaedelliseen jäseneen; ensimmäiset elementit[11]: $2^{n}-1$ $n$

2, 3, 7, 127 , 170141183460469231731687303715884105727 …

Katalaani oletti, että nämä luvut olivat huippuluokkaa "tiettyyn rajaan asti".

Yleistetty Mersennen numero on muotoa:

h^{0}+h^{1}+h^{2}+\dots +h^{n-1}={\frac {h^{n}-1}{h-1)) =M_{t,n}

Tällainen yleistys johtuu siitä, mikä voidaan esittää kasvavan geometrisen progression ensimmäisten termien summana : $2^{n}-1$ $n$

2^{n}-1=2^{0}+2^{1}+2^{2}+\dots +2^{n-1}={\frac {2^{n}- 1}{2-1}}

toisin sanoen Mersennen luvut ovat yleistettyjen Mersennen numeroiden erikoistapaus . Joillekin arvoille ja yleistetyille Mersennen luvut ovat yksinkertaisia, esimerkiksi , , , , , , ja monet muut. $h=2$ $h$ $n$ $M_{3,3}$ $M_{3,7}$ $M_{3,13}$ $M_{3,71}$ $M_{5,3}$ $M_{5,7}$ $M_{5,47}$

Avoimet numerot

Ei tiedetä, onko Mersennen alkulukujen joukko äärellinen vai ääretön, ja niiden jakauman tiheys luonnollisten lukujen joukossa on tuntematon.

Ei tiedetä, onko Mersennen prime-kaksoislukuja olemassa . $n>7$

Muistiinpanot

↑ OEIS - sekvenssi A000225 _
↑ OEIS - sekvenssi A001348 _
↑ OEIS - sekvenssi A000668 _
↑ OEIS - sekvenssi A000043 _
↑ Luettelo tunnetuista Mersennen alkuluvuista . Upea Internet Mersenne Prime Search . Haettu: 9.12.2016.
↑ Suurimmat tunnetut alkuluvut - Yhteenveto . Prime Pages (26. joulukuuta 2018). Haettu: 28. joulukuuta 2018.
↑ R. P. Brent, P. Zimmermann. Satunnaislukugeneraattorit, joiden jakso on jaollinen Mersennen alkuluvulla // Tietojenkäsittelytieteen luentomuistiinpanot. - 2003. - T. 2667 . - S. 1-10 .
↑ Elizabeth Ivtushok. Suurin alkuluku on kasvatettu puolellatoista miljoonalla merkillä . nplus1.ru. Haettu: 23.12.2018. (Venäjän kieli)
↑ GIMPS-virstanpylväät . www.mersenne.org . Haettu: 5.4.2022. (määrätön)
↑ Ennätyksellisen 12 miljoonan numeron alkulukuverkkojen 100 000 dollarin palkinto
↑ OEIS - sekvenssi A007013 _

Linkit

Weisstein, Eric W. Mersenne Prime (englanniksi) Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .
Weisstein, Eric W. Mersennen numero (englanniksi) Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .
Weisstein, Eric W. Double Mersenne Numbers (englanniksi) Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .
Andrei Konjajev . Helpompaa ei missään. Löytyi ensisijainen numero viisi romaania pitkä "Sota ja rauha" // lenta.ru. – 12. helmikuuta 2013.
Mersenne Prime Search Project (GIMPS ) .
Projekti Mersennen kaksoislukujen MM31, MM61, MM89, MM107, MM127 jakajien etsimiseksi (eng.) .