Dynaamisen järjestelmän entropia

Dynaamisen järjestelmän entropia on luku, joka ilmaisee dynaamisen järjestelmän liikeratojen satunnaisuuden asteen . On olemassa metrinen entropia , joka kuvaa dynamiikan satunnaisuutta järjestelmässä, jossa on invariantti mitta tämän suuren alkuehdon satunnaiselle valinnalle, ja topologinen entropia , joka kuvaa dynamiikan satunnaisuutta ilman lakia olettamalla. aloituspisteen valinnassa.

Dynaamisten järjestelmien teorian variaatioperiaate sanoo, että jatkuvassa dynaamisessa järjestelmässä kompaktissa joukossa topologinen entropia on yhtä suuri kuin metristen entropian pienin yläraja, kun otetaan huomioon kaikki mahdolliset järjestelmän invarianttien mittojen valinnat.

Topologinen entropia

Olkoon metrisen kompaktin joukon jatkuva kartoitus itseensä. Sitten mittari on määritetty seuraavasti $T$ ${\näyttötyyli (X,d)}$ $d_{n}$ $X$

d_{n}(x,y)=\max _{0\leq j\leq n}d(T^{j}(x),T^{j}(y)),

Toisin sanoen tämä on suurin etäisyys, jonka kiertoradat ja eroavat iteraatioissa. Lisäksi tietylle joukolle sanotaan, että joukko on -erotettu , jos sen pisteiden väliset parit-etäisyydet eivät ole pienempiä kuin , ja suurimman sellaisen joukon kardinaalisuutta merkitään . Tällöin kartoituksen topologinen entropia on kaksoisraja $x$ $y$ $n$ $\varepsilon >0,$ $(n,\varepsilon )$ $d_{n}$ $\varepsilon$ $N(n,\varepsilon )$ $T$

h(T)=\lim _{\varepsilon \to 0}\limsup _{n\to \infty }{\frac {1}{n))\log N(n,\varepsilon ).

Sama arvo voidaan määritellä eri tavalla: jos merkitään pienimmän -verkon potenssilla, niin $M(n,\varepsilon )$ $\varepsilon$

h(T)=\lim _{\varepsilon \to 0}\limsup _{n\to \infty }{\frac {1}{n))\log M(n,\varepsilon ).

Näiden määritelmien vastaavuus on helppo päätellä epäyhtälöistä.. On syytä huomata, että molemmat määritelmät formalisoivat seuraavan ei-tiukan käsitteen: tuntemattomalle lähtöpisteelle kuinka paljon informaatiota on hankittava per iteraatio, jotta voidaan ennustaa suuri määrä iteraatioita pienellä korjatulla virheellä. $N(n,\varepsilon )\leq M(n,\varepsilon )\leq N(n,\varepsilon /2).$

Metrinen entropia

Olkoon mittaa säilyttävä mitattavissa oleva dynaaminen järjestelmä. Määritelmän mukaan osion entropia on luku ${\näyttötyyli (X,T,\mu )}$ ${\displaystyle X=\bigcup _{j=1}^{n}\xi _{j))$

H(\xi ):=\sum _{j=1}^{n}-\mu (\xi _{j})\log \mu (\xi _{j}),

joka määrittää -satunnaispisteen sisältävän osioelementin määritelmän informaatioentropian . $\mu$

Osion iteratiivinen hienosäätö , $\xi$

\xi ^{(k)}=\left\{\xi _{i_{1}}\cap T^{-1}(\xi _{i_{2}})\cap \dots \cap T^{-k+1}(\xi _{i_{k}})\mid 1\leq i_{1},\dots ,i_{k}\leq n\oikea\}

määrittää, missä elementeissä piste esiintyy iteraatioiden aikana, ja vastaavasti arvon $\xi$ $k$

h_{\mu }(T,\xi )=\lim {\frac {1}{k}}H(\xi ^{(k)})

ilmaisee tällaisen prosessin informaatioentropian. Lopuksi mittauskartoituksen metrinen entropia määritellään pienimmäksi ylärajaksi kaikilla mahdollisilla osioilla : $T$ $\mu$ $h_{\mu }(\xi )$ $\xi$

h_{\mu }(T):=\sup _{\xi }h_{\mu }(T,\xi ).

Kirjallisuus

Katok A. B. , Hasselblat B. Johdatus dynaamisten järjestelmien moderniin teoriaan / käänn. englannista. A. Kononenko mukana S. Ferleger. - M . : Factorial, 1999. - 768 s. — ISBN 5-88688-042-9 .