Ergodinen jakelu

Määritelmä

Olkoon homogeeninen Markov-ketju , jolla on diskreetti aika ja laskettava määrä tiloja. Merkitse $\{X_{n}\}_{n\geq 0}$

p_{ij}^{(n)}=\mathbb {P} (X_{n}=j\mid X_{0}=i)

siirtymän todennäköisyydet askeleita kohti. Jos on olemassa sellainen diskreetti jakauma , että ja $n$ $\pi =(\pi _{1},\pi _{2},\ldots )^{\top }$ $\pi _{i}>0,\;i\in \mathbb {N}$

\lim \limits _{n\to \infty }p_{ij}^{(n)}=\pi _{j},\quad \forall i=1,2,\ldots

silloin sitä kutsutaan ergodiseksi jakaumaksi , ja itse ketjua kutsutaan ergodiseksi .

Ergodisten jakaumien peruslause

Olkoon Markov-ketju diskreetillä tila-avaruudella ja siirtymän todennäköisyyksien matriisilla . Sitten tämä ketju on ergodinen jos ja vain jos se on $\{X_{n}\}_{n\geq 0}$ $P=(p_{ij}),\;i,j=1,2,\ldots$

Ergodinen jakauma on silloin ainoa ratkaisu järjestelmään: $\mathbf {\pi }$

\sum \limits _{i=0}^{\infty }\pi _{i}=1,\;\pi _{j}\geq 0,\;\pi _{j}=\sum \limits _{i=0}^{\infty }\pi _{i}\,p_{ij},\quad \,j\in \mathbb {N}

Katso myös

Kiinteä jakelu .

Valtioiden luokittelu ja Markovin ketjut
Osavaltio	jaksoton palautettavissa saavutettavissa peruuttamaton merkityksetön nolla määräajoin positiivinen kommunikoida merkittävä
Ketju	jaksoton palautettavissa peruuttamaton hajoamaton nolla kausijulkaisu positiivinen hajoava ergodinen