3j merkki

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 4. tammikuuta 2015 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 6 muokkausta .

3 j -Wigner-symboleja , joita kutsutaan myös 3 jm -symboleiksi , käytetään kvanttimekaniikassa ja ne liittyvät Clebsch-Gordan-kertoimiin seuraavilla kaavoilla:

{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix))\equiv {\frac {(-1) )^{j_{1}-j_{2}-m_{3}}}{\sqrt {2j_{3}+1}}}\langle j_{1}m_{1}j_{2}m_{2} |j_{3}(-m_{3})j_{1}j_{2}\rangle .

Palaute

Clebsch-Gordan-kertoimien ja 3 j -symbolin välinen takaisinkytkentä saadaan seuraavasti: kun huomaa, että j 1 − j 2 − m 3 on kokonaisluku ja korvaamalla , saadaan: ${\displaystyle m_{3}\rightarrow -m_{3))$

\langle j_{1}m_{1}j_{2}m_{2}|j_{3}m_{3}j_{1}j_{2}\rangle =(-1)^{j_{1 }-j_{2}+m_{3}}{\sqrt {2j_{3}+1}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{ 2}&-m_{3}\end{pmatrix}}.

Symmetria

3 j -symbolin symmetria ilmaistaan kätevämmin kuin Clebsch-Gordan-kertoimien. 3 j -symboli on muuttumaton sarakkeidensa parillisessa permutaatiossa :

{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}j_{ 2}&j_{3}&j_{1}\\m_{2}&m_{3}&m_{1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}j_{3}&j_{1}&j_{2}\ \m_{3}&m_{1}&m_{2}\end{pmatrix}}.

Sarakkeiden pariton permutaatio johtaa kertomiseen vaihekertoimella:

{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}=(-1)^{j_{ 1}+j_{2}+j_{3}}{\begin{pmatrix}j_{2}&j_{1}&j_{3}\\m_{2}&m_{1}&m_{3}\end{pmatrix} }=(-1)^{j_{1}+j_{2}+j_{3}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{3}&j_{2}\\m_{1}&m_{3 }&m_{2}\end{pmatrix}}.

Kvanttilukujen etumerkin korvaaminen antaa myös lisävaiheen: $m$

{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\-m_{1}&-m_{2}&-m_{3}\end{pmatrix}}=(-1 )^{j_{1}+j_{2}+j_{3}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3} \end{pmatrix}}.

Valintasäännöt

3 j -Wigner-symboli ei ole nolla vain, jos seuraavat ehdot täyttyvät:

m_{1}+m_{2}+m_{3}=0,

{\displaystyle j_{1}+j_{2}+j_{3))

-kokonainen,

|m_{i}|\leqslant j_{i},

|j_{1}-j_{2}|\leqslant j_{3}\leqslant j_{1}+j_{2}.

Skalaariinvarianssi

Kolmen pyörimistilan tulon konvoluutio 3 j -symbolilla

\sum _{m_{1}=-j_{1}}^{j_{1}}\sum _{m_{2}=-j_{2}}^{j_{2}}\sum _ {m_{3}=-j_{3}}^{j_{3}}|j_{1}m_{1}\rangle |j_{2}m_{2}\rangle |j_{3}m_{3} \rangle {\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}

on invariantti kierrosten aikana.

Ortogonaalisuus

3 j -symbolia täyttävät seuraavat ortogonaalisuusominaisuudet:

(2j+1)\sum _{m_{1}m_{2}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j\\m_{1}&m_{2}&m\end{ pmatrix}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j'\\m_{1}&m_{2}&m'\end{pmatrix}}=\delta _{jj'}\delta _{mm '},

\sum _{jm}(2j+1){\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j\\m_{1}&m_{2}&m\end{pmatrix)){\begin{ pmatrix}j_{1}&j_{2}&j\\m_{1}'&m_{2}'&m\end{pmatrix}}=\delta _{m_{1}m_{1}'}\delta _{m_ {2}m_{2}'}.

Yhteys pallomaisilla harmonisilla

Kolmen j -symbolin kautta ilmaistaan integraalit kolmen pallomaisen harmonisen tulosta :

\int Y_{l_{1}m_{1}}(\theta ,\varphi )Y_{l_{2}m_{2}}(\theta ,\varphi )Y_{l_{3}m_{3 }}(\theta ,\varphi )\,\sin \theta \,d\theta \,d\varphi ={\sqrt {\frac {(2l_{1}+1)(2l_{2}+1)( 2l_{3}+1)}{4\pi }}}{\begin{pmatrix}l_{1}&l_{2}&l_{3}\\0&0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}l_{ 1}&l_{2}&l_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}},

missä , ja ovat kokonaislukuja. $l_{1}$ $l_{2}$ $l_3$

Kytkentä pallomaisten harmonisten integraaleihin spin-painoilla

$\int d{\mathbf {\hat {n}} }{}_{s_{1}}Y_{j_{1}m_{1}}({\mathbf {\hat {n}} }) {}_{s_{2}}Y_{j_{2}m_{2}}({\mathbf {\hat {n}} }){}_{s_{3}}Y_{j_{3}m_{ 3))({\mathbf {\hat {n)) })=(-1)^{m_{1}+s_{1)){\sqrt {\frac {(2j_{1}+1)(2j_ {2}+1)(2j_{3}+1)}{4\pi }}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2} &m_{3}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\-s_{1}&-s_{2}&-s_{3}\end{ pmatrix}}.$

Muut ominaisuudet

$\sum _{m}(-1)^{j+m}{\begin{pmatrix}j&j&J\\m&-m&0\end{pmatrix}}={\sqrt {\frac {2j+1}{ 2J+1}}}\delta _{J0}.$

${\frac {1}{2}}\int _{-1}^{1}dxP_{l_{1}}(x)P_{l_{2}}(x)P_{l}(x) )={\begin{pmatrix}l&l_{1}&l_{2}\\0&0&0\end{pmatrix}}^{2}.$

Katso myös

Clebsch-Gordan kertoimet
6j merkki
9j merkki
12j merkki
15j merkki

Kirjallisuus

Sobelman II : Johdatus atomispektrien teoriaan. Kustantaja Kirjallisuus. 1963
LC Biedenharn ja JD Louck, Angular Momentum in Quantum Physics , osa 8, Encyclopedia of Mathematics, Addison-Wesley, Reading, 1981.
DM Brink ja GR Satchler, Angular Momentum , 3. painos, Clarendon, Oxford, 1993.
A.R. Edmonds, Angular Momentum in Quantum Mechanics , 2. painos, Princeton University Press, Princeton, 1960.
Varshalovich D. A. , Moskalev A. N., Khersonsky V. K. Kvanttiteoria kulmaliikemäärästä. - L .: Nauka, 1975.
E.P. Wigner, On the Matrices Who Reduce the Kronecker Products of Representations of Simply Redducible Groups , julkaisematon (1940). Uusintapainos: L. C. Biedenharn ja H. van Dam, Quantum Theory of Angular Momentum , Academic Press , New York (1965).

Linkit

Anthony Stonen Wigner-kerroinlaskin (antaa tarkan vastauksen)
Clebsch-Gordan-kertoimien online-laskin, 3 j ja 6 j -merkkiä (numeerisesti)
Weizmann Plasma Laboratory 369 j -merkkilaskin (numeerisesti)
WIGXJPF- laskenta 3j 6j 9j C++- ja Python-merkeistä (tarkka vastaus tekijöiden jakamisen ja monitavuisten kokonaislukujen avulla)