ATC-lause

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 8.9.2021 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 3 muokkausta .

ATS-lause - lause trigonometrisen summan likiarvosta lyhyemmällä.

Joillakin matematiikan ja matemaattisen fysiikan aloilla muodon summat

S=\sum _{a<k\leq b}\varphi (k)e^{2\pi if(k)}.

Tässä ja ovat todellisen argumentin todellisia funktioita, $\varphi(x)$ $f(x)$ $i^2= -1.$

Tällaisia summia esiintyy esimerkiksi lukuteoriassa analysoitaessa Riemannin zeta-funktiota , ratkaistaessa kokonaislukupisteiden jakautumiseen liittyviä ongelmia tasossa ja avaruudessa eri alueilla , tutkittaessa Fourier-sarjoja , ratkaistaessa differentiaaliyhtälöitä , kuten aaltoa . yhtälö , yhtälö lämmönjohtavuus jne.

Alkuhuomautukset

Kutsutaan summan pituutta $S$ numeroksi (kokonaisluvuille ja tämä on vain termien lukumäärä ). $ba$ $a$ $b$ $S$

Käytämme seuraavaa merkintää:

Jos tai merkintä tarkoittaa, että on olemassa vakioita ja Sellainen, että $B > 0, B \to +\infty$ $B:stä 0:aan$ $1 \ll \frac{A}{B} \ll 1$ $C_1 > 0$ $C_2 > 0,$ $C_{1}\leq {\frac {|A|}{B}}\leq C_{2}.$
Sillä todellinen merkintä tarkoittaa sitä $\alpha$ $\|\alpha \|$ $\|\alpha \|=\min(\{\alpha \},1-\{\alpha \}),$ missä on murto-osa $\{\alpha\}$ $\alpha.$

Muotoilkaamme päälause trigonometrisen (joskus kutsutaan myös eksponentiaaliseksi) summan korvaamisesta lyhyemmällä.

ATS-lause

Olkoon todelliset funktiot ja täytä seuraavat ehdot välillä: $f(x)$ $\varphi(x)$ $[a,b]$

$f''(x)$ ja ovat jatkuvia; $\varphi''(x)$
on numeroita ja sellaisia $H$ $U$ $V$ $H>0,~~1\ll U\ll V,~~0<ba\leq V,$ $\begin{array}{rc} \frac{1}{U} \ll f''(x) \ll \frac{1}{U} \ ,& \varphi(x) \ll H ,\\ f' ''(x) \ll \frac{1}{UV} \ ,& \varphi'(x) \ll \frac{H}{V} ,\\ f''''(x) \ll \frac{ 1}{UV^2} \ ,& \varphi''(x) \ll \frac{H}{V^2} . \\ \end{array}$

Sitten määritetään luvut yhtälöstä $x_{\mu }$

f'(x_{\mu}) = \mu,

meillä on

\sum_{a< \mu\le b} \varphi(\mu)e^{2\pi if(\mu)} = \sum_{f'(a)\le\mu\le f'(b)} C(\mu)Z(\mu) + R ,

missä

R = O \left(\frac{HU}{ba} + HT_a + HT_b + H\log\left(f'(b)-f'(a)+2\right)\right);

T_{j}=\left\{{\begin{array}{rc}0\ ,&\ {{\textit {i}}f}\ \ f'(j)\ {{\textit {i }}s\ an\ kokonaisluku};\\\min \left({\frac {1}{\|f'(j)\|}}),{\sqrt {U}}\oikea)\ ,&\ { {\textit {i}}f}\ \ \|f'(j)\|\neq 0;\\\end{array}}\right.

j = a,b;

C(\mu) = \left\{ \begin{array}{rc} 1 \ \ ,& \ \ {\textit if} \ \ f'(a) < \mu < f'(b) ;\\ \ frac{1}{2} \ \ ,& \ \ {\textit if} \ \ \mu = f'(a) \ \ {\textit or} \ \ \mu = f'(b) ;\\ \end {array}\right.

Z(\mu) = \frac{1+i}{\sqrt 2}\frac{\varphi(x_{\mu})}{\sqrt{f''(x_{\mu))))) e^ { 2\pi i(f(x_{\mu})- \mu x_{\mu})} \ .

Van der Corputin Lemma

Muotoillun lauseen yksinkertaisin versio on lause, jota kirjallisuudessa kutsutaan van der Corput -lemmiksi .

Antaa olla todellinen differentioituva funktio välissä , lisäksi tämän välin sisällä sen derivaatta on monotoninen ja merkkivakiofunktio, ja , täyttää epäyhtälön $f(x)$ $a< x \le b$ $f'(x)$ $\delta = vakio$ $0 < \delta < 1$

|f'(x)| \leq \delta .

Sitten

\sum_{a<k\le b} e^{2\pi if(k)} = \int_a^be^{2\pi if(x)}dx + \theta\left(3 + \frac{2\ delta}{1-\delta}\right),

missä $|\theta| \le 1.$

Jos parametrit ja ovat kokonaislukuja , viimeinen lauseke voidaan korvata seuraavalla: $a$ $b$

\sum_{a<k\le b} e^{2\pi if(k)} = \int_a^be^{2\pi if(x)}dx + \frac12e^{2\pi if(b)} - \frac12e^{2\pi if(a)} + \theta\frac{2\delta}{1-\delta},

missä . $|\theta| \le 1$

Sovellus

Katso [1] , [2] , katso myös [3] , [4] ATS :n sovelluksista fysiikan ongelmissa .

Historia

Euler ja Poisson pitivät trigonometrisen sarjan lähentämistä minkä tahansa sopivan funktion avulla .

Tietyissä olosuhteissa summa voidaan korvata hyvällä tarkkuudella toisella summalla $\varphi(x)$ $f(x)$ $S$ $S_1,$

S_1 = \sum_{\alpha<k\le \beta} \Phi(k)e^{2\pi i F(k)},

jonka pituus on paljon pienempi kuin muodon ensimmäiset suhteet $\beta-\alpha$ $ba.$

S=S_{1}+R\ ,

missä on jäljellä oleva termi, jolla on tietyt funktiot ja jotka ovat saaneet G. Hardy ja J. Littlewood [5] [6] [7] johtaessaan funktionaalisen yhtälön Riemannin zeta-funktiolle ja I. Vinogradov [8] , kun tarkastellaan kokonaislukupisteiden määrä tason alueilla. Yleisesti ottaen lauseen todisti J. Van der Corput [9] [10] (van der Corputin lauseeseen liittyvät viimeisimmät tulokset , katso [11] ). $R$ $\varphi(x)$ $f(x),$ $\zeta (s)$

Jokaisessa yllä olevissa teoksissa toiminnoille ja . Sovelluksille sopivin rajoituksin A. A. Karatsuba osoitti lauseen [12] (katso myös [ 13] [14] ). $\varphi(x)$ $f(x)$

Muistiinpanot

↑ EA Karatsuba Värähtelevien summaden summien likiarvo tietyissä fysikaalisissa ongelmissa, - JMP 45:11 , s. 4310-4321 (2004).
↑ EA Karatsuba Lähestymistavasta Jaynes-Cummingsin summan tutkimiseen kvanttioptiikassa, - Numerical Algorithms, Voi. 45, nro 1-4, s. 127-137 (2007).
↑ E. Chassande-Mottin, A. Pai Paras chirplet-ketju: lähes optimaalinen gravitaatioaaltojen sirkutuksen havaitseminen, Phys. Rev. D73 :4 , 042003, s. 1-23 (2006).
↑ M. Fleischhauer, W.P. Schleich Herätykset tehty yksinkertaiseksi: Poissonin summauskaava avaimena herätyksiin Jaynes-Cummingsin mallissa, Phys. Rev. A 47:3 , s. 4258-4269 (1993).
↑ GH Hardy ja JE Littlewood Trigonometrinen sarja, joka liittyy elliptisiin θ-funktioihin, Acta Math. 37 , s. 193-239 (1914).
↑ GH Hardy ja JE Littlewood Avustukset Riemannin Zeta-funktion teoriaan ja alkulukujakauman teoriaan, - Acta Math. 41 , s. 119-196 (1918).
↑ GH Hardy ja JE Littlewood Riemannin zeta-funktion nollat kriittisellä linjalla, matematiikka. Z., 10 , s. 283-317 (1921).
↑ I. M. Vinogradov Negatiivisen determinantin puhtaasti juurimuotojen luokkien lukumäärän keskiarvosta, - Soobshch. Kharkova. Matto. Islands, osa 16, nro 1/2, s. 10-38 (1918).
↑ JG Van der Corput Zahlentheoretische Abschätzungen, Math. Ann. 84 , s. 53-79 (1921).
↑ JG Van der Corput Verschärfung der abschätzung beim teilerproblem, Math. Ann., 87 , s. 39-65 (1922).
↑ HL Montgomery Kymmenen luentoa analyyttisen lukuteorian ja harmonisen analyysin välisestä rajapinnasta, - Am. Matematiikka. Soc., 1994.
↑ A.A. Karatsuba Eksponentiaalisten summien likimääräisyys lyhyemmillä, - Proc. Intialainen. Acad. sci. (Math. Sci.) 97:1-3 , ss. 167 - 178 (1987).
↑ S. M. Voronin, A. A. Karatsuba Riemann zeta-funktio, - M .: Fizmatlit, 1994.
↑ A. A. Karatsuba, M. A. Korolev Lause lyhyemmän trigonometrisen summan, Izvestiya RAN, approksimaatiosta. Mathematics Series, osa 71, nro 2, s. 123-150 (2007).