Adiabaattinen invariantti

Adiabaattinen invariantti on fysikaalinen suure , joka ei muutu fysikaalisen järjestelmän joidenkin parametrien tasaisen muutoksen myötä siten, että tämän muutoksen ominaisaika on paljon pidempi kuin itse järjestelmässä tapahtuvien prosessien ominaisaika [1] .

Termin alkuperä

Adiabaattinen prosessi tarkoitti alun perin prosessia ilman lämmönvaihtoa ympäristön kanssa. Nimi syntyi termistä "adiabaattinen kuori" ( toinen kreikka ἀδιάβατος - "läpäisemätön") - kuori, joka ei päästä lämpöä läpi.

Mutta 1900-luvun puolivälissä jotkut tiedemiehet (erityisesti L. D. Landau ) alkoivat kutsua tätä prosessiksi, joka kulkee käytännössä tasapainotilojen läpi, toisin sanoen melko hitaasti ja sujuvasti. Nyt tällaista prosessia kutsutaan kvasistaattiseksi tai tasapainoiseksi. Historiallisesti nimi "adiabaattinen invariantti" esiintyi analogisesti tällaisen termodynaamisen prosessin kanssa.

Tällä hetkellä sanaa "adiabaattinen" käytetään jälleen alkuperäisessä merkityksessään ("prosessi ilman lämmönvaihtoa väliaineen kanssa"), mutta termi "adiabaattinen invariantti" on jo vakiintunut.

Klassinen mekaniikka

Klassisessa mekaanisessa järjestelmässä , joka suorittaa jaksollista liikettä jaksolla ja riippuu parametrista , parametrin muutoksen adiabaattisuus määräytyy ehdon mukaan . $T$ $\lambda$

T{\frac {d\lambda }{dt}}\ll \lambda

Järjestelmän Hamilton-funktio riippuu sen sisäisistä muuttujista ja parametrista

{\mathcal {H}}={\mathcal {H}}(q,p,t,\lambda )

Sisäiset muuttujat ja muuttuvat nopeasti ajan myötä . Mutta järjestelmän energia on liikkeen integraali vakioparametrin kanssa . Kun parametri muuttuu ajan myötä $q$ $s$ $T$ $E$ $\lambda$

{\frac {dE}{dt))={\frac {\partial {\mathcal {H))}{\partial \lambda )){\frac {d\lambda }{dt))

Kun tästä lausekkeesta lasketaan keskiarvo ajanjakson aikana, voimme olettaa, että parametri on muuttumaton. $\lambda$

{\overline {\frac {dE}{dt))}={\frac {d\lambda }{dt)){\overline {\frac {\partial {\mathcal {H))}{\partial \lambda }}}

jossa keskiarvo määritellään seuraavasti

{\overline {\frac {\partial {\mathcal {H))}{\partial \lambda ))}={\frac {1}{T))\int \limits _{0}^{T }{\frac {\partial {\mathcal {H))}{\partial \lambda ))\,dt

On kätevää vaihtaa ajan mittaan integroinnista muuttujan kautta tapahtuvaan integrointiin : $q$

dt={\frac {dq}{\partial {\mathcal {H}}/\partial p}}

Tässä tapauksessa ajanjakso on $T$

T=\oint {\frac {dq}{\partial {\mathcal {H))/\partial p))

jossa integrointi suoritetaan eteenpäin ja taaksepäin koordinaatin muutoksen sisällä liikejakson aikana.

Liikemäärän kirjoittaminen energian , koordinaatin ja parametrin funktiona, joidenkin muunnosten jälkeen voidaan saada $E$ $q$

\oint \left({\frac {\partial p}{\partial E)){\overline {\frac {\partial E}{\partial t))}+{\frac {\partial p}{ \partial \lambda }}{\frac {d\lambda }{dt}}\right)\,dq=0

Lopulta voit kirjoittaa

{\overline {\frac {dI}{dt))}=0

missä arvo

I={\frac {1}{2\pi }}\oint p\,dq

ja tulee olemaan adiabaattinen invariantti.

Tuloksena olevaan lausekkeeseen sisältyvä integraali saa yksinkertaisen geometrisen merkityksen, jos käännymme vaiheavaruuden ja siinä olevan järjestelmän vaiheradan käsitteeseen. Tarkasteltavana olevassa tapauksessa järjestelmällä on yksi vapausaste , joten vaiheavaruus on vaihetaso , jonka muodostaa joukko pisteitä, joiden koordinaatit ja . Koska järjestelmä suorittaa jaksollista liikettä, sen vaiherata [2] on suljettu käyrä tällä tasolla, vastaavasti integraali otetaan tätä suljettua käyrää pitkin. Tästä seuraa, että integraali on yhtä suuri kuin järjestelmän vaiheradan rajoittaman kuvan ala. $s$ $q$ ${\näyttötyyli \oint p\,dq}$

Pinta-ala voidaan ilmaista myös kaksiulotteisena integraalina, jolloin adiabaattisen invariantin tapauksessa

I={\frac {1}{2\pi }}\int dp\,dq

Esimerkki. Harmoninen oskillaattori

Tarkastellaan esimerkkinä yksiulotteista harmonista oskillaattoria . Tällaisen oskillaattorin Hamilton-funktiolla on muoto

H={\frac {p^{2}}{2m}}+{\frac {m\omega ^{2}q^{2}}{2}}

missä on oskillaattorin luonnollinen (syklinen) taajuus . Vaiheratayhtälö tässä tapauksessa määräytyy energian säilymislain mukaan, ja siksi sillä on muoto $\omega$ $H(p,q)=E$

{\frac {p^{2}}{2m}}+{\frac {m\omega ^{2}q^{2}}{2}}=E

Yhtälöstä voidaan nähdä, että liikerata on ellipsi, jolla on puoliakselit ja vastaavasti sen pinta-ala jaettuna : lla on yhtä suuri kuin . Näin ollen määrä on harmonisen oskillaattorin adiabaattinen invariantti. Tästä seuraa, että tapauksissa, joissa oskillaattorin parametrit muuttuvat hitaasti, sen energia muuttuu suhteessa taajuuteen. ${\sqrt {2mE}}$ ${\displaystyle {\sqrt {2E/m\omega ^{2))))$ $2\pi$ ${\frac {E}{\omega ))$ $I={\frac {E}{\omega ))$

Adiabaattisen invariantin ominaisuudet

Adiabaattisen invariantin energiaderivaata on yhtä suuri kuin jakso jaettuna . $2\pi$

2\pi {\frac {\partial I}{\partial E))=T

tai

{\frac {\partial E}{\partial I))=\omega

missä on syklinen taajuus. $\omega$

Kanonisten muunnosten avulla uudesta muuttujasta voidaan tehdä adiabaattinen invariantti, jota kutsutaan toimintamuuttujaksi. Uudessa muuttujajärjestelmässä sillä on vauhdin rooli . Siihen kanonisesti konjugoitua muuttujaa kutsutaan kulmamuuttujaksi .

Muistiinpanot

↑ Dykhne A. M. Adiabaattiset invariantit // Fyysinen tietosanakirja / Ch. toim. A. M. Prokhorov . - M .: Neuvostoliiton tietosanakirja , 1988. - T. 1. Aharonov-Bohm-efekti - Pitkät rivit. - S. 26. - 704 s. - 100 000 kappaletta.
↑ Vaiheen liikerata - joukko pisteitä, joiden koordinaatit ovat yhtä suuret kuin arvot, jotka ottavat arvot ja järjestelmän liikkeen prosessissa. $s$ $q$

Kirjallisuus

Landau L.D., Lifshitz E.M. Mechanics. - 4. painos, tarkistettu. - M .: Nauka , 1988 . - S. 199-202. — 215 s. — ("Teoreettinen fysiikka", osa I). — ISBN 5-02-013850-9 .
Kotelnikov IA Luennot plasmafysiikasta. Osa 1: Plasmafysiikan perusteet. - 3. painos - Pietari. : Lan , 2021. - 400 s. - ISBN 978-5-8114-6958-1 .