Algebrallinen Bianchin identiteetti

Algebrallinen Bianchin identiteetti on kaarevuustensorin tietynlainen symmetria . Tunnetaan myös nimellä Bianchi-Padova-identiteetti [1] ) tai ensimmäinen Bianchi-identiteetti . Identiteetin löysi Gregorio Ricci-Curbastro , mutta sitä kutsutaan ensimmäiseksi Bianchin identiteetiksi, koska se on samanlainen kuin Luigi Bianchin kuvaama differentiaalinen identiteetti .

Sanamuoto

Riemannin tensori täyttää seuraavan identiteetin:

R(u,\;v)w+R(v,\;w)u+R(w,\;u)v=0.

jota kutsutaan algebralliseksi Bianchin identiteetiksi

Huomautus

Tämä identiteetti vastaa seuraavaa kaarevuustensorin komponenttien suhdetta:

R_{sijk}+R_{sjki}+R_{skij}=0

Identiteettien kirjoitusasu

Koska Riemannin tensorissa on kaksi antisymmetristä indeksiparia (tensori kääntää etumerkkinsä, kun kaksi indeksiä vaihdetaan kussakin parissa), ja tensori on symmetrinen, kun itse parit vaihdetaan, voimme esimerkiksi vaihtaa kaksi ensimmäistä. indeksit. Saamme (vaihtamalla merkkiä):

(1a)\qquad R_{{isjk}}+R_{{jski}}+R_{{ksij}}=0

Jos nyt vaihdamme indeksiparit, saamme:

(1b)\qquad R_{{jkis}}+R_{{kijs}}+R_{{ijks}}=0

Kaikki nämä identiteetit ovat ekvivalentteja, ja ne voidaan kuvata sanoin seuraavasti: kiinnitämme yhden Riemannin tensorin indeksistä ja kolmella muulla indeksillä teemme kolme syklistä permutaatiota. Riemannin tensorin komponenttien summa saaduilla kolmella indeksijoukolla on nolla.

Muita vaihtoehtoja saadaan nostamalla yhtä tai useampaa indeksiä, esimerkiksi:

(1c)\qquad R_{{\;ijk}}^{s}+R_{{\;jki}}^{s}+R_{{\;kij}}^{s}=0

Riemannin tensorin antisymmetrisaatio

Käyttämällä metristä matryoshka-tensoria mielivaltaiselle tensorille on mahdollista muodostaa seuraava tensori, joka on antisymmetrinen kaikissa indekseissä: $T_{{i_{1}\cdots i_{m}}}$ $m$

(16)\qquad A_{{i_{1}\dots i_{m}}}={1 \over m!}g_{{i_{1}\dots i_{m}}}^{{j_{1} \pisteet j_{m}}}T_{{j_{1}\pisteet j_{m}}}

Ilmeisesti antisymmetrinen tensori pysyy muuttumattomana antisymmetrisointimenettelyn jälkeen.

Sovelletaan antisymmetrisaatiota Riemannin tensoriin:

(17)\qquad A_{{sijk}}={1 \yli 4!}g_{{sijk}}^{{s_{1}i_{1}j_{1}k_{1}}}R_{{s_ {1}i_{1}j_{1}k_{1}}}={1 \yli 24}{\begin{vmatrix}\delta _{s}^{{s_{1}}}\delta _{i }^{{s_{1}}}\delta _{j}^{{s_{1}}}\delta _{k}^{{s_{1}}}\\\delta _{s}^{ {i_{1}}}\delta _{i}^{{i_{1}}}\delta _{j}^{{i_{1}}}\delta _{k}^{{i_{1} }}\\\delta _{s}^{{j_{1}}}\delta _{i}^{{j_{1}}}\delta _{j}^{{j_{1}}}\ delta _{k}^{{j_{1}}}\\\delta _{s}^{{k_{1}}}\delta _{i}^{{k_{1}}}\delta _{ j}^{{k_{1}}}\delta _{k}^{{k_{1}}}\end{vmatrix}}R_{{s_{1}i_{1}j_{1}k_{1 }}}

Kun determinanttia laajennetaan, saamme 24 termiä indeksien permutaatiolla ja parilliset permutaatiot ovat plusmerkillä ja parittomat permutaatiot miinusmerkillä: $sijk$

(18)\qquad A_{{sijk}}={1 \over 24}\left((R_{{sijk}}+R_{{sjki}}+R_{{skij}})-(R_{{sjik} }+R_{{sikj}}+R_{{skji}})+\pisteet \oikea)

Yhteensä kaava (18) sisältää kahdeksan termiryhmää, kussakin kolme termiä. Kun otetaan huomioon Riemannin tensorin symmetria, on helppo nähdä, että kaikki nämä kahdeksan ryhmää ovat samat (merkityillä). Siksi saamme:

(19)\qquad A_{{sijk}}={1 \over 3}(R_{{sijk}}+R_{{sjki}}+R_{{skij}})

Nyt algebrallinen Bianchin identiteetti voidaan kuvata sanoin seuraavasti: Riemannin tensorin antisymmetrisaatio on yhtä suuri kuin nolla.

Sisäisen kaarevuuden lineaarisesti riippumattomien komponenttien lukumäärä

Jos on jakosarjan mitta , niin antisymmetrisen indeksiparin yhdistelmien lukumäärä on yhtä suuri: $n$

(20)\qquad \alpha =C_{n}^{2}={n(n-1) \yli 2}

Koska Riemannin tensori on symmetrinen indeksiparien permutaation suhteen, sen komponentit kirjoitetaan (merkkiin asti) useilla eri numeroilla:

(21)\qquad \beta ={\alpha (\alpha +1) \over 2}={n(n-1) \over 4}\left({n(n-1) \over 2}+1\ oikea)

Mutta nämä luvut yhdistetään lineaarisilla riippuvuuksilla, jotka johtuvat algebrallisesta Bianchin identiteetistä. Näiden yhtälöiden lukumäärä, kuten on helppo nähdä kaavasta (19), on yhtä suuri kuin neljännen asteen antisymmetrisen tensorin olennaisesti eri komponenttien lukumäärä : $A_{{ijkl}}$

(22)\qquad \gamma =C_{n}^{4}={n(n-1)(n-2)(n-3) \yli 24}

(Huomaa, että kaava (22) antaa oikean tuloksen, eli nollan, kun ) Siksi Riemannin tensorin lineaarisesti riippumattomien komponenttien lukumäärä on yhtä suuri kuin erotus: $n<4$

(23)\qquad N=\beta -\gamma ={n(n-1) \over 24}(3n(n-1)+6-(n-2)(n-3))={n^{ 2}(n^{2}-1) \yli 12}

Kaava (23) antaa vain suurimman mahdollisen määrän Riemannin tensorin lineaarisesti riippumattomia komponentteja annetulle monistoulotteelle. Tietyissä jakotuissa tämä luku voi olla pienempi. Esimerkiksi tasaiselle tilalle tämä luku on nolla, ja hyperpinnalle pääsuuntien koordinaattijärjestelmässä meillä on indeksien kaava: $i \ne j$

(24)\qquad R_{{ijij}}=k^{{(i)}}k^{{(j)}}

ja näin ollen lineaarisesti riippumattomien komponenttien lukumäärä ei ylitä 2:n yhdistelmien lukumäärää, eli: $n$

(25)\qquad N_{{hypersurface}}=C_{n}^{2}={n(n-1)/2}

Suhde luontaisen kaarevuuden muihin ominaisuuksiin

Algebrallisen Bianchin identiteetin vuoksi moniston sisäinen kaarevuus määräytyy täysin seuraavan neliömuodon arvoilla bivektoreissa : $\sigma ^{{ij}}=a^{i}b^{j}-a^{j}b^{i}$

(26)\qquad \Phi ({\boldsymbol {\sigma }})=R_{{ijkl}}\sigma ^{{ij}}\sigma ^{{kl}}

Algebralliseen Bianchin identiteettiin liittyy myös mahdollisuus vaihtoehtoiseen näkemykseen sisäisestä kaarevuudesta symmetrisen sisäisen kaarevuuden tensorin kautta .

Katso myös

Bianchin erilainen identiteetti

Muistiinpanot

↑ Korn G., Korn T. Matematiikan käsikirja tutkijoille ja insinööreille. - M.: Nauka, 1973