Andronov-Hopf haarautuminen

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 23. marraskuuta 2018 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 3 muokkausta .

Dynaamisten järjestelmien teoriassa Andronov -Hopf-bifurkaatio on vektorikentän paikallinen bifurkaatio tasossa, jonka aikana yksittäinen tarkennuspiste menettää vakauden, kun sen kompleksisten konjugoitujen ominaisarvojen pari kulkee kuvitteellisen akselin läpi. Tässä tapauksessa joko pieni stabiili rajasykli syntyy yksittäisestä pisteestä ( pehmeä nurjahdus ), tai päinvastoin pieni epävakaa rajasykli bifurkaatiohetkellä romahtaa tähän pisteeseen, ja sen hylkäyspooli haarautumisen jälkeen on kokoinen. erotettu nollasta ( kova nurjahdus ).

Jotta tämä bifurkaatio tapahtuisi, riittää sen lisäksi, että ominaisarvot ohjataan imaginaarisen akselin kautta, että asetetaan järjestelmään tietyt tyypillisyysehdot.

Andronov-Hopf-haaroittuminen ja satula-solmuhaarautuminen ovat ainoita paikallisia vektorikenttien haarautumia tasolla, jotka syntyvät tyypillisissä yksiparametriperheissä.

Määritelmä

Andronov-Hopf-haaroitusta kutsutaan normaalimuodoksi

{\cfrac {dz}{dt}}=z((\lambda +i)+(\alpha +i\beta )|z|^{2}),

missä

$z\in \mathbb {C} \;,$
$\lambda$ - parametri,
$\alpha$ on Ljapunov-kerroin.

Jos on negatiivinen positiiviselle , niin bifurkaatio on ylikriittinen, jos positiivinen negatiiviselle - alikriittinen. $\alpha$ $\lambda$ $\lambda$

Pehmeä ja kova nurjahdus

Termit "pehmeä" ja "kova" liittyvät järjestelmän käyttäytymisen kuvaukseen "ulkoisen" tarkkailijan näkökulmasta, järjestelmän parametrien ja järjestelmän parametrien hitaaseen (verrattuna järjestelmän dynamiikkaan) kehitykseen. järjestelmän melu pienten satunnaisten häiriöiden takia. Vakauden pehmeän menetyksen tapauksessa ratkaisu siirtyy tasapainoasennosta (josta on tullut epävakaa) rajasykliin - tarkkailija näkee järjestelmän tilan jaksollisen "värinän" lähellä tasapainoasemaa, mikä kasvaa. kasvavalla parametrilla. Kuitenkin "parametrin liikkeen" aika-asteikolla ratkaisun "poikkeamat" kasvavat jatkuvasti. Päinvastoin, vakavan vakauden menettämisen myötä ratkaisu "äkillisesti" hajoaa ja ylittää kadonneen rajasyklin repulsio-altaan rajan: aika-asteikolla elävän havainnoijan näkökulmasta, jossa parametri muutokset, ratkaisu muutti äkillisesti järjestelmää.

Kirjallisuus

V. I. Arnold, V. S. Afraimovich, Yu. S. Ilyashenko, L. P. Shilnikov. Bifurkaatioiden teoria // Dynaamiset järjestelmät-5. Tieteen ja tekniikan tuloksia. Nykyajan matematiikan ongelmat. perussuuntia. - M .: VINITI , 1986. - T. 5 . - S. 5-218 . — ISSN 0233-6723 .
V. I. Arnold , Tavallisten differentiaaliyhtälöiden teorian lisäluvut, s. 243. M.: Nauka, 1978.