Satulasolmun haarautuminen

Dynaamisten järjestelmien teoriassa satulasolmun bifurkaatio on paikallinen bifurkaatio , jossa singulaaripisteiden pari ( stabiili ja epävakaa ) sulautuu puolistabiiliksi singulaaripisteeksi (satulasolmu) ja katoaa sitten. Ainoa bifurkaatio, joka esiintyy tyypillisissä yhden parametrin vektorikenttien perheissä viivalla ei-poistamattomalla tavalla (eli on tyypillinen koodiulottuvuuden 1 bifurkaatio ).

Normaali muoto

animaatio

Tarkastellaan vektorikenttää viivalla, jolla on singulaaripiste. Jos singulaaripiste on ei- degeneroitunut ( vektorikentän derivaatta siinä on eri kuin 0), implisiittisen funktion lauseen mukaan se säilyy pienissä häiriöissä eikä haaroittumista tapahdu. Näin ollen yksinkertaisin tapaus, mielenkiintoinen bifurkaatioteorian kannalta: ensimmäinen derivaatta on yhtä suuri kuin nolla. Tyypillisesti toinen derivaatta on nollasta poikkeava. Laajentamalla vektorikenttää Taylor-sarjaksi ja muuttamalla tarvittaessa koordinaattijärjestelmää voidaan olettaa, että kerroin at on yhtä suuri kuin -1. Tässä tapauksessa vektorikentän muoto on: $x^{2}$

{\piste {x}}=-x^{2}+o(x^{2}).\quad \quad (1)

Koska singulaaripiste on rappeutunut, vektorikenttä (1) ei ole rakenteellisesti stabiili : mielivaltaisen pieni häiriö voi tuhota singulaaripisteen tai "jakaa" sen kahtia. Osoittautuu, että mikä tahansa tämän vektorikentän ei-degeneroitunut pieni häiriö singulaaripisteen 0 läheisyydessä on (topologisesti) yhtä suuri kuin yhden parametrin perhe

{\piste {x}}=\varepsilon -x^{2}\quad \quad (2)

Toisin sanoen tämä perhe on yhtälön (1) versaalinen muodonmuutos . Perhe (2) on satula-solmun haarautuman normaali muoto .

Bifurkaatioskenaario

Harkitse perhettä (2). Kolme tapausta on mahdollista:

Sillä , vektorikentässä on kaksi yksikköpistettä: . Yksi niistä ( ) on vakaa, toinen ( ) on epävakaa. $\varepsilon > 0$ $x=\pm {\sqrt {\varepsilon ))$ $x=+{\sqrt {\varepsilon ))$ $x=-{\sqrt {\varepsilon ))$
Kohteessa , vektorikentällä on ainutlaatuinen semistattavissa oleva ei-hyperbolinen singulaaripiste 0 . $\varepsilon=0$
Sillä , vektorikentällä ei ole yksittäisiä pisteitä. $\varepsilon <0$

Siten satula-solmun bifurkaatiota voidaan kuvata prosessina, jossa puolistabiili singulaaripiste syntyy ja sen myöhempi hajoaminen vakaaksi ja epävakaaksi pisteeksi, tai päinvastoin, prosessina, jossa stabiili ja epästabiili singulaari yhdistyy. muuttuu puolivakaaksi, jonka jälkeen se katoaa.

Jos tarkastelemme kaksiulotteista vaiheavaruutta ja lisäämme yhtälöön (2) yhtälön , , singulaaripiste on vakaa solmu ja yksikköpiste on satula . Yhdistettäessä pisteessä ne muodostavat singulaaripisteen, jossa on yksi nolla ja yksi nollasta poikkeava ominaisarvo , eli satulasolmun . Tämä selittää haarautuman nimen. ${\piste {y}}=-y$ $\varepsilon > 0$ $({\sqrt {\varepsilon )),0)$ $(-{\sqrt {\varepsilon )),0)$ $\varepsilon=0$

Kirjallisuus

D. Wang, C. Lee, Sh.-N. Chow. Vektorikenttien normaalimuodot ja bifurkaatiot tasossa. - M .: MTSNMO, 2005. - 416 s. — ISBN 5-94057-206-5 .