Hyperbolinen kiinteä piste

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 1. tammikuuta 2019 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 2 muokkausta .

Hyperbolinen kiinteä piste ( hyperbolic point ) on peruskäsite, jota käytetään dynaamisten järjestelmien teoriassa suhteessa kartoituksiin ( diffeomorfismiin ) ja vektorikenttiin . Kuvauksen tapauksessa hyperbolinen piste on kiinteä piste , jossa kaikki kertoimet ( mappauksen linearisoinnin ominaisarvot tietyssä pisteessä) ovat moduloittain erilaisia kuin yksi. Vektorikenttien tapauksessa hyperbolinen piste on singulaaripiste , jossa kaikilla kentän linearisoinnin ominaisarvoilla on nollasta poikkeavat reaaliosat. $\mu _{i}$ $\lambda _{i}$

Vakaat ja epävakaat jakoputket

Vektorikentän hyperbolisessa pisteessä (tai diffeomorfismissa) tangenttiavaruus hajoaa kahden invariantin aliavaruuden suoraksi summaksi ja , jotka ovat invariantteja kentän lineaarisen osan operaattorin alla: . Aliavaruudet ja määritetään ehdoilla vektorikenttien tapauksessa ja ehdoilla diffeomorfismien tapauksessa . Nämä aliavaruudet ovat linearisoidun vektorikentän (diffeomorfismi) muuttumattomia monistoja tietyssä pisteessä, niitä kutsutaan sen epävakaiksi ja stabiileiksi , vastaavasti. $T^{u}$ $T^{s}$ $\mathbb {R} ^{n}=T^{s}\oplus T^{u}$ $T^{u}$ $T^{s}$ $\operatorname {Re} \lambda _{i}>0$ $\operatorname {Re} \lambda _{i}<0$ $|\mu _{i}|>1$ $|\mu _{i}|<1$

Alkuperäisen epälineaarisen vektorikentän (diffeomorfismi) epästabiilit ja stabiilit monistoja ovat sen muuttumattomat monisot ja , tangentti vastaavasti aliavaruuksiin ja tarkasteltavassa pisteessä ja joilla on samat mitat kuin . Lajikkeet ja ovat yksilöllisesti määriteltyjä [1] . Huomaa, että jaostot ja eivät ole olemassa vain hyperbolisten singulaaripisteiden tapauksessa, vaan hyperbolisen pisteen tapauksessa niiden mittojen summa on yhtä suuri kuin koko avaruuden mitta, eikä tämän läpi kulje muita invariantteja monistoja. yksikköpiste [1] . ${\displaystyle W^{u))$ ${\displaystyle W^{s))$ $T^{u}$ $T^{s}$ $T^{u}$ $T^{s}$ ${\displaystyle W^{u))$ ${\displaystyle W^{s))$ ${\displaystyle W^{u))$ ${\displaystyle W^{s))$

Lauseet hyperbolisista pisteistä

Grobman-Hartmanin lause . Epälineaarisen diffeomorfismin (vektorikentän) hyperbolisen pisteen läheisyydessä dynamiikka eroaa vastaavan lineaarisen kuvauksen (vektorikentän) dynamiikasta jatkuvalla koordinaattien muutoksella .

Hadamard-Perronin lause. [2] [3] Tasaisen (tai analyyttisen ) vektorikentän tai diffeomorfismin hyperbolisen pisteen läheisyydessä tietyn pisteen läpi kulkee epästabiileja ja stabiileja monistoja ja sama sileysluokka (vastaavasti analyyttinen). ${\displaystyle W^{u))$ ${\displaystyle W^{s))$

Chenin lause. [4] [5] Jos hyperbolisen pisteen läheisyydessä kaksi sileää vektorikenttää (diffeomorfismia) ovat muodollisesti ekvivalentteja (eli ne käännetään toisiinsa muodollisen potenssisarjan antamalla muuttujien muodollisella muutoksella ), niin ne ovat -tasaisesti vastaavat. $C^\infty$ $C^\infty$

Katso myös

Kirjallisuus

I. G. Sinai . Ergodisen teorian nykyaikaiset ongelmat, - M .: Fizmatlit, 1995 (s. 137).
V. I. Arnold, Yu. S. Iljashenko . Tavalliset differentiaaliyhtälöt, Dynaamiset järjestelmät - 1, Itogi Nauki i Tekhniki. Ser. Moderni prob. matto. Fundam. ohjeet, 1, VINITI, M., 1985, 7–140
Marsden J., McCracken M. Synnytyksen bifurkaatio ja sen sovellukset. M.: Mir, 1980.
Iljashenko Yu.S., Veigu L. Ei-paikalliset haarautumat. - M .: MTsNMO-Chero, 1999. - 416 s. — ISBN 5-900916-34-0 .
Katok A. B. , Hasselblat B. Johdatus nykyaikaiseen dynaamisten järjestelmien teoriaan ja katsaus viimeaikaisiin saavutuksiin / Per. englannista. toim. A.S. Gorodetsky. — M .: MTSNMO , 2005. — 464 s. — ISBN 5-94057-063-1 .

Muistiinpanot

↑ 1 2 V. I. Arnold, Yu. S. Ilyashenko . Tavalliset differentiaaliyhtälöt, Dynaamiset järjestelmät - 1, Itogi Nauki i Tekhniki. Fundam. ohjeet, 1, VINITI, M., 1985, luku 3. . Haettu 24. maaliskuuta 2018. Arkistoitu alkuperäisestä 24. maaliskuuta 2018. (määrätön)
↑ V. I. Arnold, Yu. S. Iljashenko . Tavalliset differentiaaliyhtälöt, Dynaamiset järjestelmät - 1, Itogi Nauki i Tekhniki. Fundam. ohjeet, 1, VINITI, M., 1985, s. 61. . Haettu 24. maaliskuuta 2018. Arkistoitu alkuperäisestä 24. maaliskuuta 2018. (määrätön)
↑ Marsden J., McCracken M. Synnytyksen bifurkaatio ja sen sovellukset. M.: Mir, 1980.
↑ V. I. Arnold, Yu. S. Iljashenko . Tavalliset differentiaaliyhtälöt, Dynaamiset järjestelmät - 1, Itogi Nauki i Tekhniki. Fundam. ohjeet, 1, VINITI, M., 1985, s. 72. . Haettu 24. maaliskuuta 2018. Arkistoitu alkuperäisestä 24. maaliskuuta 2018. (määrätön)
↑ Chen, Kuo-Tsai . Vektorikenttien ekvivalenssi ja hajoaminen alkeiskriittisen pisteen ympärillä. amer. J Math. 85 (1963), s. 693-722.