Haar aallokko

Haar -aalto on yksi ensimmäisistä ja yksinkertaisimmista aalloista . Se perustuu ortogonaaliseen funktiojärjestelmään, jonka unkarilainen matemaatikko Alfred Haar ehdotti vuonna 1909 [1] . Haar-aallot ovat ortogonaalisia, niillä on kompakti tuki, ne ovat hyvin paikallisia avaruudessa, mutta eivät ole sileitä. Myöhemmin Ingrid Daubechies alkoi kehittää teoriaa ortogonaalisista aalloista ja ehdotti iteratiivisesti laskettujen funktioiden, joita kutsutaan Daubechies-aalloteiksi, käyttöä.

Haar-aallon rakentaminen

Signaalin yksityiskohdat määräävä integraalin nolla-arvo (emo) aallokkofunktio annetaan seuraavasti: $\psi(x)$ $\int \limits _{-\infty }^{\infty }\psi (x)\,dx=0$

$\psi (x)={\begin{cases}1,&0\leqslant x<1/2\\-1,&1/2\leqslant x<1\\0,&x\notin [0,\; 1)\end{cases}}$

Skaalausfunktio integraalin yksikköarvolla , joka määrittää signaalin karkean approksimation ( approksimaation ), on vakio: $\varphi(x)$ $\int \limits _{-\infty }^{\infty }\varphi (x)\,dx=1$ $\varphi (x)={\begin{cases}1,&0\leqslant x<1\\0,&x\notin [0,\;1)\end{cases}}$

Haar transformaatio

Haar-muunnosta käytetään pakkaamaan tulosignaaleja, pakkaamaan kuvia, enimmäkseen värillisiä ja mustavalkoisia tasaisilla siirtymillä. Ihanteellinen kuviin, kuten röntgenkuvaukseen. Tämäntyyppinen arkistointi on ollut tunnettu jo pitkään ja lähtee suoraan ajatuksesta hyödyntää alueiden koherenssia. Puristussuhde on asetettu ja vaihtelee välillä 5-100. Kun yrität asettaa korkeamman kertoimen teräville reunuksille, erityisesti niille, jotka kulkevat vinottain, näkyviin tulee "portaikkoefekti" - eri kirkkausaskeleita usean pikselin kokoisia .

Haar-muunnos yksiulotteiselle signaalille

Olkoon yksiulotteinen diskreetti tulosignaali . Jokaiselle vierekkäisten elementtien parille on määritetty kaksi numeroa: ja . Toistamalla tämä toiminto jokaiselle alkuperäisen signaalin elementille saadaan kaksi signaalia ulostuloon, joista toinen on tulosignaalin karkea versio - ja toinen sisältää yksityiskohtaiset tiedot, jotka ovat tarpeen alkuperäisen signaalin palauttamiseksi. Vastaavasti Haar-muunnos voidaan soveltaa vastaanotettuun signaaliin ja niin edelleen. $S$ $a_{i}={\frac {S_{{2i}}+S_{{2i+1}}}{2}}$ $b_{i}={\frac {S_{{2i}}-S_{{2i+1}}}{2}}$ $a_{i}$ $a_{i}$

Esimerkki

Esitetään tulosignaali 8 pikselin kirkkausarvojen merkkijonona ( ): (220, 211, 212, 218, 217, 214, 210, 202). Haar-muunnoksen soveltamisen jälkeen saadaan seuraavat kaksi sekvenssiä ja : (215.5, 215, 215.5, 206) ja (4.5, −3, 1.5, 4). On syytä huomata, että arvot ovat melko lähellä nollaa. Toistamalla toiminto sekvenssille , saadaan: (215.25, 210.75) (0.25, 4.75). $S$ $a_{1}$ $b_{1}$ $b_{1}$ $a_{1}$

Haar-muunnoksen esimerkki osoittaa selvästi signaalin diskreetin aallokemuunnoksen rakenteen. Jokaisessa muunnoksen vaiheessa signaali jaetaan kahteen osaan: pienemmän resoluution approksimaatio ( approksimaatio ) ja yksityiskohtatieto.

Haar-muunnos kaksiulotteiselle signaalille

Kaksiulotteinen Haar-muunnos ei ole muuta kuin yksiulotteisten Haar-muunnosten koostumus. Esitetään kaksiulotteinen tulosignaali matriisilla . Kun yksiulotteinen Haar-muunnos on käytetty matriisin jokaiselle riville, saadaan kaksi uutta matriisia, joiden rivit sisältävät alkuperäisen matriisin rivien likimääräisen ja yksityiskohtaisen osan. Vastaavasti jokaiseen saatujen matriisien sarakkeeseen sovelletaan yksiulotteinen Haar-muunnos ja ulostulossa saadaan neljä matriisia, joista yksi on alkuperäisen signaalin approksimoiva komponentti ja loput kolme sisältävät yksityiskohtaista tietoa - pysty-, vaaka- ja diagonaalinen. $S$ $S$

Katso myös

Muistiinpanot

↑ Haar A. Zur Theorie der orthogonalen Functionsysteme, Väitöskirja (Gottingen, 1909); Matematiikka. Ann. 69 (1910), 331-371, 71 (1912), 33-53