Vektorisuure

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 2. joulukuuta 2020 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 6 muokkausta .

Vektorisuure  on fyysinen suure , joka on vektori ( tensori , jonka arvo on 1). Toisaalta se vastustaa skalaaria (0-luokan tensorit), toisaalta tensorisuureita (tarkasti ottaen tensoreita, joiden arvo on 2 tai enemmän). Se voidaan myös vastustaa tiettyjä matemaattisesti täysin erilaisia ​​esineitä.

Useimmissa tapauksissa termiä vektori käytetään fysiikassa kuvaamaan vektoria niin sanotussa "fysikaalisessa avaruudessa", toisin sanoen klassisen fysiikan tavallisessa kolmiulotteisessa avaruudessa tai neliulotteisessa [1] aika-avaruudessa. moderni fysiikka (jälkimmäisessä tapauksessa vektorin ja vektorisuureen käsite osuu 4-vektorin ja 4-vektorisuureen käsitteen kanssa).

Ilmaisun "vektorimäärä" käyttö on käytännössä loppunut tähän. Mitä tulee termin "vektori" käyttöön, huolimatta siitä, että se on oletusarvoisesti taipuvainen samaan sovellettavuusalueeseen, se ylittää monissa tapauksissa edelleen hyvin kaukana tällaiset rajat. Katso tästä lisää alta.

Termien vektori ja vektorimäärä käyttö fysiikassa

Huolimatta siitä, että vektorin ymmärrys fyysisesti ja matemaattiselta puolelta on käytännössä sama, terminologinen spesifisyys ilmenee eri abstraktioasteiden vuoksi.

Mitä tulee matematiikan fysiikkaan, vektorin käsite on tarpeeton: millä tahansa vektorilla voi olla mikä tahansa luonne, äärettömän abstrakti tila ja ulottuvuus. Kun tarvitaan tarkennuksia, on joko tarpeen täsmentää pitkästi tai ottaa huomioon eksplisiittisesti kuvattu konteksti, mikä johtaa usein sekaannukseen.

Fysiikassa ei kuitenkaan lähes aina puhuta matemaattisista objekteista (joilla on tietyt muodolliset ominaisuudet) yleensä, vaan niiden erityisestä, spesifisestä, "fyysisestä" sidonnasta. Kun tarkastellaan näitä konkreettisuusnäkökohtia lyhyyden ja mukavuuden kanssa, voidaan ymmärtää, että fysiikan terminologinen käytäntö eroaa huomattavasti matemaattisesta käytännöstä. Se ei kuitenkaan ole selkeässä ristiriidassa jälkimmäisen kanssa. Tämä voidaan saavuttaa useilla yksinkertaisilla tavoilla. Ensinnäkin on yleissopimus, että oletustermiä käytetään - implisiittisessä kontekstissa. Joten fysiikassa, toisin kuin matematiikassa, sanaa vektori ei yleensä ymmärretä "jonkina lineaarisen avaruuden vektorina yleensä", vaan ensinnäkin vektorina, joka liittyy "tavalliseen fyysiseen avaruuteen" (klassisen fysiikan kolmiulotteinen avaruus). tai neliulotteinen tila-aika [2] relativistinen fysiikka). Avaruusvektoreille, jotka eivät liity suoraan ja suoraan "fyysiseen tilaan" tai "avaruuteen", käytä erityisiä nimiä (joskus myös sana "vektori", mutta selvennettynä). Jos teoriaan tuodaan jonkin avaruuden vektori, joka ei suoraan ja suoraan liity "fyysiseen tilaan" tai "avaruuteen" (ja jota on vaikea määritellä välittömästi millään määrätyllä tavalla), se kuvataan usein nimenomaisesti "abstrakti vektori".

Kaikki yllä oleva, jopa enemmän kuin termi "vektori", koskee termiä "vektorimäärä". Oletusarvo tässä tapauksessa vielä selvemmin merkitsee sitoutumista "tavalliseen tilaan" tai aika-avaruuteen, ja abstraktien vektoriavaruuksien käyttöä elementtien suhteen ei juurikaan tavata (ainakin se on erittäin harvinainen poikkeus).

Fysiikassa vektoreita (ja vektorimääriä - melkein aina) kutsutaan kahden samanlaisen luokan vektoreiksi:

  1. klassisessa fysiikassa (klassinen mekaniikka, sähködynamiikka klassisessa kolmiulotteisessa muotoilussa ja muilla fysiikan alueilla, jotka muodostuivat pääasiassa ennen 1900-luvun alkua) vektorisuureita tai yksinkertaisesti vektoreita kutsutaan yleensä tavallisen kolmiulotteisen avaruuden vektoreiksi - että on tavalliset "geometriset" vektorit tai ne voivat poiketa niistä skalaaritekijällä (mukaan lukien mittatekijä). Vaikka näillä fysiikan alueilla itse asiassa käytettiin erilaisia ​​modernin matematiikan vektoreiksi tunnistamia esineitä, fysikaalisessa terminologiassa tämä sai hyvin vähäisen vastaanoton (esimerkiksi klassisen sähködynamiikan Fourier-muunnos ja klassinen jatkumoteoria on erittäin intensiivinen käytössä, mutta perinteisesti Sitä ei tuskin pidetä klassisessa kontekstissa sanan "vektori" käytön yhteydessä funktioiden yhteydessä, vaikka se olisi matemaattisesta näkökulmasta varsin laillista [3] ). Ehkä ainoa merkittävä poikkeus säännöstä on vaihe- tai konfiguraatioavaruuksien elementtien vektorien melko vapaa toiminta [4] .
  2. relativistisessa fysiikassa [5] (alkaen Poincarén, Planckin ja Minkowskin) ja suurelta osin modernissa teoreettisessa fysiikassa vektorit ja vektorisuureet ymmärretään ensisijaisesti neliulotteisen aika-avaruuden vektoreina [6] ja liittyvät suoraan ne (jotka eroavat 4-siirtymävektorin skalaarikertoimella) ovat 4-vektoria .
  3. kvanttimekaniikassa, kvanttikenttäteoriassa jne. sanaa "vektori" on myös yleisesti käytetty viittaamaan sellaiseen kohteeseen tilavektorina . Tällä vektorilla voi periaatteessa olla mikä tahansa ulottuvuus, ja se on pääsääntöisesti ääretön. Käytännössä sekaannusta ei kuitenkaan ole, koska sanaa vektori käytetään tässä yksinomaan stabiilissa yhdistelmätilavektorissa , eikä koskaan erikseen, paitsi ehkä tapauksissa, joissa konteksti on jo niin ilmeinen, että hämmennys on yksinkertaisesti mahdotonta (esim. sanavektoria käytetään toistuvasti suhteessa objektiin , joka juuri ennen nimettiin tilavektoriksi tai yksiselitteisiä erityisiä nimityksiä - kuten Dirac -sulkuja - tai niitä vastaavia termejä. Erikoissanoja käytetään useille tiettyjen tilojen vektoreille (esim. kuten esimerkiksi spinorit ) tai eksplisiittiset nimet (väriavaruusvektori, isotooppispin). Lisäksi ilmaisua "vektorimäärä" ei käytetä juuri koskaan sellaisiin abstrakteihin vektoreihin. Kaikki tämä mahdollisti termin "vektori" säilyttämisen ehkä päämerkitys - 4-vektorin merkitys Juuri tämä merkitys on upotettu termeihin vektorikenttä , vektori th hiukkanen ( vektoribosoni , vektorimesoni ). Sanalla "skalaari" on myös konjugoitu merkitys tällaisissa termeissä .


Esimerkkejä vektorifysikaalisista suureista: nopeus , voima , lämpövirta .

Vektorisuureiden synty

Miten fyysiset "vektorimäärät" on sidottu avaruuteen? Ensinnäkin on silmiinpistävää, että vektorisuureiden ulottuvuus (tämän termin käytön tavanomaisessa merkityksessä, joka on selitetty yllä) osuu yhteen esimerkiksi saman "fyysisen" (ja "geometrisen") avaruuden ulottuvuuden kanssa. , avaruus on kolmiulotteinen ja sähkövektorikentät ovat kolmiulotteisia. Intuitiivisesti voidaan myös huomata, että millä tahansa vektorifyysisellä suurella, riippumatta siitä kuinka epämääräinen sen yhteys tavanomaiseen avaruudelliseen ulottuvuuteen on, on kuitenkin melko määrätty suunta tässä tavallisessa avaruudessa.

Osoittautuu kuitenkin, että paljon enemmän voidaan saavuttaa "pienentämällä" suoraan fysiikan vektorimäärien joukko yksinkertaisimpiin "geometrisiin" vektoreihin tai pikemminkin jopa yhteen vektoriin - alkeissiirtymän vektoriin, mutta se olisi oikein sanoa - johdattamalla ne kaikki siitä.

Tässä menettelyssä on kaksi erilaista (vaikkakin olennaisesti toisiaan yksityiskohtaisesti toistavaa) toteutusta klassisen fysiikan kolmiulotteiselle tapaukselle ja nykyaikaiselle fysiikalle yhteiselle neliulotteiselle tila-aika-formulaatiolle.

Klassinen kolmiulotteinen kotelo

Jatkamme tavallisesta kolmiulotteisesta "geometrisesta" avaruudesta, jossa elämme ja voimme liikkua.

Otetaan infinitesimaalinen siirtymävektori alku- ja esimerkkivektoriksi. On melko selvää, että tämä on tavallinen "geometrinen" vektori (samoin kuin äärellinen siirtymävektori).

Nyt huomaamme heti, että vektorin kertominen skalaarilla antaa aina uuden vektorin. Sama voidaan sanoa vektorien summasta ja erosta. Tässä luvussa emme tee eroa polaaristen ja aksiaalisten vektorien välillä [7] , joten huomioimme, että kahden vektorin ristitulo antaa myös uuden vektorin.

Lisäksi uusi vektori antaa vektorin differentiaalisen skalaarin suhteen (koska tällainen derivaatta on vektorien eron suhteen raja skalaariin). Tämä voidaan sanoa edelleen kaikkien korkeampien luokitusten johdannaisista. Sama pätee integrointiin skalaarien (aika, tilavuus) kautta.

Nyt huomaamme, että alkaen sädevektorista r tai alkeissiirtymästä d r , ymmärrämme helposti, että vektorit ovat (koska aika on skalaari) sellaisia ​​kinemaattisia suureita kuin

Nopeudesta ja kiihtyvyydestä, kerrottuna skalaarilla (massalla), näkyvät

Koska olemme nyt kiinnostuneita myös pseudovektoreista, huomaamme sen

Jatkamalla tätä menettelyä havaitsemme, että kaikki meille tuntemamme vektorisuureet eivät ole nyt vain intuitiivisesti, vaan myös muodollisesti sidottu alkuperäiseen avaruuteen. Nimittäin ne kaikki ovat tietyssä mielessä sen elementtejä, koska ne ilmaistaan ​​pohjimmiltaan muiden vektorien lineaarisina yhdistelminä (skalaaritekijöillä, mahdollisesti dimensiaalisilla, mutta skalaarisilla ja siksi muodollisesti melko laillisilla).

Moderni neliulotteinen kotelo

Sama menettely voidaan tehdä neliulotteisesta siirtymästä alkaen. Osoittautuu, että kaikki 4-vektorin suureet "tulevat" 4-siirtymästä, joten ne ovat jossain mielessä samoja aika-avaruusvektoreita kuin itse 4-siirtymä.

Vektorityypit suhteessa fysiikkaan

Muistiinpanot

  1. ↑ Monissa nykyaikaisissa teorioissa perusavaruuden ulottuvuus on suurempi kuin 4; periaatteessa tämä kuitenkin muuttuu melkoisesti, eikä mikään näistä teorioista ole vielä saavuttanut yleisesti hyväksyttyä ja riittävän vahvistettua statusta.
  2. ↑ Monissa nykyaikaisissa teorioissa, esimerkiksi merkkijonoteoriassa , aika-avaruus ei ole 4-ulotteinen, vaan sillä on enemmän ulottuvuuksia, kuitenkin se on useimmiten melko suora ja yksinkertainen yleistys sen 4-ulotteisesta prototyypistä ja mahdollisuus hämmennys on käytännössä poissuljettu näiden teorioiden kontekstilla (puhumattakaan siitä, että ulottuvuus on silloin usein osoitettu eksplisiittisesti, eikä dimensiota lukuun ottamatta oletettu eroja tavanomaisesta aika-avaruudesta).
  3. ↑ Fysikaalisen ja matemaattisen terminologian välisten ristiriitojen välttämiseksi on olemassa tällainen tapa: ilmaisun "sellaisen ja sellaisen tilan vektori" sijasta voit käyttää synonyymiä - "sellaisen ja sellaisen tilan elementti". Matemaattisesti se on täysin vastaava, mutta ei aiheuta hämmennystä, kun sitä käytetään yhdessä fysiikalle tyypillisten terminologisten perinteiden kanssa.
  4. ↑ On vaikea sanoa, mikä tätä enemmän palveli: se, että nämä tilat (etenkin konfiguraatiot) näyttävät olevan liian suora yleistys tavallisesta fyysistä tilaa, tietyissä tapauksissa, yksinkertaisesti jälkimmäisen osuessa yhteen, tai että teoreettista mekaniikkaa, jossa nämä käsitteet syntyivät, ei pidetä fysiikan, vaan matematiikan haarana.
  5. ↑ Relativistinen fysiikka viittaa tässä ensisijaisesti relativistisen mekaniikan, sähködynamiikan ja muiden teorioiden standardiin 4-ulotteiseen muotoiluun. Periaatteessa tätä muotoilua käytetään sekä kvanttiteorioissa että ei-kvanttiteorioissa.
  6. ↑ Ilmeisin ulospääsy tästä viitekehyksestä oletuksena (eli ilman erityisiä terminologisia selventäviä markkereita) ovat jo mainitut teoriat, jotka perustuvat oletukseen fyysisen perusavaruuden yli 4-ulotteisuudesta Kaluza-teoriasta alkaen. , merkkijonoteoriaan jne. d.
  7. ↑ Tarvittaessa tällainen jako on helppo tehdä, mutta olemme nyt kiinnostuneita vektorifysikaalisten suureiden täydellisimmän sarjan ensimmäisestä rakentamisesta, ei niiden luokittelusta, ja keskitymme tähän.
  8. ↑ Kulmanopeudelle on kuitenkin helpointa soveltaa käänteistä päättelyä: koska kulmanopeuden ja sädevektorin vektoritulo on nopeus, niin kulmanopeus on vektori (tarkemmin pseudovektori).