Paluuyhtälö

Paluuyhtälö on algebrallinen yhtälö yhdessä muodon muuttujassa

\sum _{k=0}^{n}(a_{k}x^{k}(x^{2n-2k+1}+\lambda ^{2n-2k+1}))=0 \vasen oikea nuoli a_{0}x^{2n+1}+a_{1}x^{2n}+a_{2}x^{2n-1}+\pisteet

\dots +a_{n-1}x^{n+2}+a_{n}x^{n+1}+\lambda ^{1}a_{n}x^{n}+\lambda ^{3}a_{n-1}x^{n-1}+\lambda ^{5}a_{n-2}x^{n-2}+\pisteet

\dots +\lambda ^{2n-3}a_{2}x^{2}+\lambda ^{2n-1}a_{1}x+\lambda ^{2n+1}a_{0}= 0

parilliseen asteeseen ja $2n+1$

\sum _{k=0}^{n}(a_{nk}(x^{n+k}+x^{nk}\lambda ^{k}))=0\nuoli vasen oikealle a_{0} x^{2n}+a_{1}x^{2n-1}+a_{2}x^{2n-2}+\pisteet

\dots +a_{n-1}x^{n+1}+a_{n}x^{n}+\lambda ^{1}a_{n-1}x^{n-1}+ \lambda ^{2}a_{n-2}x^{n-2}+\lambda ^{3}a_{n-3}x^{n-3}+\pisteet

\dots +\lambda ^{n-2}a_{2}x^{2}+\lambda ^{n-1}a_{1}x+\lambda ^{n}a_{0}=0

tasaiselle tutkinnolle , missä . Käänteispolynomi on polynomi , joka vastaa nollaa käänteisyhtälössä [1] . $2n$ $a_{0}\neq 0$

Vaihtoehtoinen tapa määritellä

Parittoman asteen polynomia kutsutaan toistuvaksi , jos jokin yhtäläisyys on totta mille tahansa . Parillisen asteen polynomia kutsutaan toistuvaksi , jos jokin yhtäläisyys on totta mille tahansa . $\sum \limits _{k=0}^{2n+1}(a_{k}x^{k})=$ ${\displaystyle a_{2n+1}x^{2n+1}+\pisteet +a_{2}x^{2}+a_{1}x^{1}+a_{0))$ $2n+1$ $\lambda \neq 0$ ${\frac {a_{k}}{a_{(2n+1)-k}}}=\lambda ^{2(nk)+1}$ $k$
$\sum \limits _{k=0}^{2n}(a_{k}x^{k})=$ ${\displaystyle a_{2n}x^{2n}+\pisteet +a_{2}x^{2}+a_{1}x^{1}+a_{0))$ $2n$ $\lambda \neq 0$ ${\displaystyle {\frac {a_{k}}{a_{(2n)-k}}}=\lambda ^{(nk)))$ $k$

Erikoistapaukset

Jos eli toistuvan polynomin kertoimien sarja on symmetrinen (on palindromi ), yhtälöä kutsutaan symmetriseksi tai symmetriseksi . Jos puhumme yhtälöön kuuluvasta polynomista, sitä kutsutaan symmetriseksi (ei pidä sekoittaa symmetriseen polynomiin ) [1] . $\lambda=1$

Asteen laskeminen ja juurien löytäminen

Jokaisella parittoman asteen toistuvalla polynomilla on juuri ja se esitetään lineaarisen polynomin ja polynomin tulona , jolla on parillinen aste ja joka on toistuva. $\sum _{k=0}^{n}(a_{k}x^{k}(x^{2n-2k+1}+\lambda ^{2n-2k+1}))$ $2n+1$ $-\lambda$ $(x+\lambda )$ $\sum _{k=0}^{n}{\Big (}a_{k}x^{k}{\Big (}{\frac {x^{2n-2k+1}+\lambda ^{2n-2k+1}}{x+\lambda }}{\Big )}{\Big )}=$ ${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{\Big (}a_{k}x^{k}\sum \limits _{t=0}^{2n-2k}((-1)) ^{t}x^{t}\lambda ^{2n-2k-t}){\Big )))$ $2n$

Todiste

Osoitetaan, että polynomi on toistuva. Se voidaan kirjoittaa muotoon uudelleen , ja nyt samat ovat mukana summauksessa . Sitten kertoimet for ja jaetaan pareiksi ja kanssa yhtä suuret keskenään . Minkä tahansa tällaisen parin lukujen suhde on yhtä suuri , joten kokonaiskertoimien suhde kohdassa ja on yhtä suuri kuin sama luku , mikä tarkoittaa, että yllä olevan vaihtoehtoisen määritelmän mukaan polynomimme on toistuva, ja luku, jonka rooli toistetaan alkuperäisessä parittoman asteen polynomissa , toistetaan tässä . ${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{\Big (}a_{k}x^{k}\sum \limits _{t=0}^{2n-2k}((-1)) ^{t}x^{t}\lambda ^{2n-2k-t}){\Big )))$ ${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{\Big (}a_{k}\sum \limits _{t=k}^{2n-k}((-1)^{tk}x ^{t}\lambda ^{2n-kt}){\Big )))$ $t$ ${\näyttötyyli {2n-t))$ $k$ ${\näyttötyyli x^{t))$ ${\näyttötyyli x^{2n-t))$ ${\displaystyle a_{k}(-1)^{tk}\lambda ^{2n-kt))$ ${\displaystyle a_{k}(-1)^{(2n-t)-k}\lambda ^{2n-k-(2n-t)))$ $k$ ${\frac {a_{k}(-1)^{tk}\lambda ^{2n-kt)){a_{k}(-1)^{(2n-t)-k}\lambda ^ {2n-k-(2n-t)}}}=(-1)^{(tk)-((2n-t)-k)}\lambda ^{(2n-kt)-(2n-k-( 2n-t))}=$ $(-1)^{2(tn)}\lambda ^{2(nt)}=$ ${\displaystyle \lambda ^{2(nt)))$ ${\näyttötyyli x^{t))$ ${\näyttötyyli x^{2n-t))$ ${\displaystyle \lambda ^{2(nt)))$ $\lambda$ $\lambda ^{2}$

Tarkastellaan nyt parillisen asteen rekursiivista polynomia . Rekursiivisen polynomin määritelmän mukaan nolla ei siis ole sen juuri ja se voidaan kirjoittaa uudelleen muotoon , jossa summa voidaan kirjoittaa uudelleen polynomiksi suhteessa asteeseen . $\sum _{k=0}^{n}(a_{nk}(x^{n+k}+x^{nk}\lambda ^{k}))$ $2n$ $a_{0}\lambda ^{n}\neq 0$ ${\displaystyle x^{n}\sum _{k=0}^{n}{\Big (}a_{nk}{\Big (}x^{k}+{\Iso (}{\frac {\) lambda }{x}}{\Big )}^{k}{\Big )}{\Big )))$ ${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{\Big (}a_{nk}{\Big (}x^{k}+{\Big (}{\frac {\lambda }{x}) }{\Big )}^{k}{\Big )}{\Big )))$ ${\displaystyle t={\Big (}x+{\frac {\lambda }{x}}{\Big )))$ $n$

Todiste

Todistakaamme täydellisellä induktiolla , että mikä tahansa korvauksen suhteen symmetrinen summa voidaan kirjoittaa uudelleen polynomiksi suhteessa . Pohja: . Siirtymä: oletetaan, että tämä väite pätee kaikkiin potenssiin, jotka ovat pienempiä kuin annettu . Lauseke on symmetrinen korvauksen suhteen ja sen erolla c on muuttujan maksimiaste ja se on myös symmetrinen osoitetun korvauksen suhteen, ja siksi se voidaan induktio-oletuksella esittää polynomina suhteessa asteeseen asti . Tällöin lauseke on lausekkeiden ja erotus , joista jokainen esitetään polynomina suhteessa asteeseen, joka ei ole suurempi kuin , joten itse lauseke esitetään myös sellaisena polynomina. Sitten , jossa ensimmäinen osa esitetään polynomina korkeintaan asteen suhteen kuten edellä on todistettu, ja toinen osa esitetään polynomina asteen suhteen korkeintaan . $n$ $x\leftrightarrow {\frac {\lambda }{x}}$ ${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{\Big (}a_{nk}{\Big (}x^{k}+{\Big (}{\frac {\lambda }{x}) }{\Big )}^{k}{\Big )}{\Big )))$ ${\displaystyle t={\Big (}x+{\frac {\lambda }{x}}{\Big )))$ $\sum _{k=0}^{1}{\Big (}a_{nk}{\Big (}x^{k}+{\Big (}{\frac {\lambda }{x}) }{\Big )}^{k}{\Big )}{\Big )}=$ ${\Big (}a_{1}{\Big (}x^{0}+{\Big (}{\frac {\lambda }{x}}{\Big )}^{0}{\ Iso )}+{\Iso (}a_{0}{\Iso (}x^{1}+{\Iso (}{\frac {\lambda }{x}}{\Big )}^{1}{ \Big )}=$ $a_{0}{\Big (}x+{\frac {\lambda }{x}}{\Big )}+a_{1}=$ $a_{0}t+a_{1}$ $n$ $t^{n}={\Big (}x+{\frac {\lambda }{x}}{\Big )}^{n}$ $x\leftrightarrow {\frac {\lambda }{x}}$ $x^{n}+{\Big (}{\frac {\lambda }{x}}{\Big )}^{n}$ $n-1$ $t$ $n-1$ $x^{n}+{\Big (}{\frac {\lambda }{x}}{\Big )}^{n}$ ${\Big (}x+{\frac {\lambda }{x}}{\Big )}^{n}$ ${\displaystyle {\Big (}x+{\frac {\lambda }{x}}{\Big )}^{n}-{\Big (}x^{n}+{\Iso (}{\frac { \lambda }{x}}{\Big )}^{n}{\Big )))$ $t$ $n$ $x^{n}+{\Big (}{\frac {\lambda }{x}}{\Big )}^{n}$ $\sum _{k=0}^{n}{\Big (}a_{nk}{\Big (}x^{k}+{\Big (}{\frac {\lambda }{x}) }{\Big )}^{k}{\Big )}{\Big )}=$ ${\displaystyle a_{0}{\Big (}x^{n}+{\Iso (}{\frac {\lambda }{x}}{\Big )}^{n}{\Big )}+\ summa _{k=0}^{n-1}{\Big (}a_{nk}{\Big (}x^{k}+{\Big (}{\frac {\lambda }{x}}{) \Big )}^{k}{\Big )}{\Big )))$ $t$ $n$ $t$ $n$

Kun on löydetty tuloksena olevan yhtälön kaikki juuret ja ratkaistu kaikki muodon yhtälöt suhteessa , saadaan alkuperäisen käänteisyhtälön juuret . $t_{i}$ $t_{i}=x+{\frac {\lambda }{x}}$ $x$ $x_{2i-1,\;2i}={\frac {t_{i}\pm {\sqrt {t_{i}^{2}-4\lambda }}}{2}}$

Ratkaisevuus radikaaleissa

Kuten edellä on esitetty, asteiden ja käänteisyhtälöt pelkistyvät ratkaisemaan asteyhtälöitä , jotka voidaan ratkaista radikaaleilla Abel -Ruffinin lauseeseen asti . Lisäksi lauseke , jonka avulla voit saada käänteisyhtälön juuret (paitsi pariton aste) edellä saadun asteyhtälön juurien kautta suhteessa kohtaan, on algebrallinen . Siksi käänteisyhtälöt, jotka pelkistyvät yhtälöiksi, joiden aste on enintään , ovat ratkaistavissa radikaaleilla, ja tällaisiin käänteisyhtälöihin kuuluvat ne, joiden aste ei ylitä . $2n$ $2n+1$ $n$ $n = 4$ ${\Big (}t_{i}\pm {\sqrt {t_{i}^{2}-4\lambda )){\Big )}/2$ $(-\lambda )$ $n$ $t$ $t$ $neljä$ $9$

Muistiinpanot

↑ 1 2 S.N. Olechnik, M.K. Potapov, P.I. Pasichenko. "Algebra ja analyysin alku. Yhtälöt ja epäyhtälöt"

Linkit

Palindromisten polynomien peruslause (englanniksi) MathPagesissa .