Geodeettinen virtaus

Jakoputken geodeettinen virtaus on tangenttikimpussa oleva virtaus (tai toisin sanoen yhden parametrin diffeomorfismien ryhmä ), jonka liikeradat määritellään seuraavasti: kukin vektori liikkuu eteenpäin sen geodeettista tangenttia pitkin ajassa samalla , kun se pysyy tangenttina . tähän geodetiikkaan . $M$ $TM$ $v$ $t$ $t$

Tietyssä mielessä tällainen virtaus yleistää liikkeen vakionopeudella euklidisessa avaruudessa . On myös syytä korostaa, että nimestä huolimatta geodeettinen virtaus on virtaus dynaamisten järjestelmien merkityksessä, joka on määritelty tarkasti tangenttikimppuun , ei itse jakoputkeen . $\mathbb {R} ^{n}$ $TM$ $M$

Usein ajatellaan geodeettista virtausta yksikkötangenttivektorien avaruudessa (koska vektorin pituus säilyy geodeettisen virtauksen alla). $T_1M$

Geodeettista virtausyhtälöä Riemannin monistossa voidaan pitää Hamiltonin mekaniikan yhtälönä nollapotentiaalienergialla.

Esimerkkejä

Kuten edellä mainittiin, tavanomaisessa euklidisessa metriikassa geodeettinen virtaus määrittää liikkeen vakionopeudella: ${{\mathbb {R}}}^{n}$

\Phi^t({X},{V})=( {X}+{V} t, {V}).

Geodeettisen virtauksen liikeradat Lobatševskin tasossa pyrkivät absoluuttisiin sekä eteenpäin että taaksepäin ajassa.
Geodeettinen virtaus negatiivisen kaarevuuden moninkertaisuudessa osoittautuu Anosov-virtaukseksi : sen dynamiikka on kaoottista. Erityinen tapaus tästä on virtaus suvun Riemannin pinnalla , joka on varustettu Poincarén metriikalla . $g>1$

Katso myös

Geodeettinen
Fermatin periaate
Orisyklinen virtaus

Kirjallisuus

Dubrovin B.A., Novikov S.P., Fomenko A.T., Moderni geometria, v.2. Jakotukien geometria. M.: Pääkirjoitus URSS, 1998.