Hyperbolismi Gromovin merkityksessä
Hyperbolisuus Gromovin tai -hyperboliteetin merkityksessä on metrisen avaruuden globaali ominaisuus , karkeasti sanottuna, joka muistuttaa kaarevuuden negatiivisuutta; erityisesti Lobatševsky-avaruus on hyperbolinen Gromovin merkityksessä.
Hyperbolisuutta Gromovin merkityksessä käytetään pääasiassa geometrisessa ryhmäteoriassa . Se
antaa geometrisen tulkinnan pienille
Määritelmä
Välilyönti on -hyperbolinen, jos jollekin pisteelle
jossa tarkoittaa Gromovin tuotetta :
Viimeinen epätasa-arvo vastaa
mille tahansa pisteelle .
On monia muita määritelmiä (joskus vaihtelee useita kertoja). Esimerkiksi seuraavaa: jos avaruus on geodeettinen , niin tämä ehto vastaa sitä tosiasiaa, että minkä tahansa avaruuden pisteen x, y, z kohdalla geodeettisen segmentin [xy] on liiton -naapurissa. [xz] ja [yz]. Toisin sanoen lyhimmällä [xy]:lla on piste t siten, että [xt] on [xz]:n -naapurissa ja [ty] on [zy]:n -naapurissa.
Ominaisuudet
- Hyperbolisuus on kvasi-isometristen muunnosten invariantti. Tästä johtuen ryhmän hyperbolisuus ei riipu sanaston metriikan määrittämiseen käytetyn generaattorijärjestelmän valinnasta .
- Jos välilyönti sisältää isometrisen kopion , se ei voi olla hyperbolinen. Erityisesti karteesinen tuote ei ole melkein koskaan[ selventää ] ei voi olla hyperbolinen.
- -Hyperbolisen avaruuden injektiivinen runko on -hyperbolinen. [yksi]
- Erityisesti mikä tahansa -hyperbolinen avaruus on isometrinen geodeettisen -hyperbolisen avaruuden osajoukolle.
Esimerkkejä
- Mikä tahansa kompakti tila on hyperbolinen.
- Mikä tahansa puu on 0-hyperbolinen avaruus.
- Lobatševskin kone on hyperbolinen Gromovin merkityksessä. Oletus , että kaarevuus on yhtä suuri kuin Lobatševskin taso, on -hyperbolinen (nelipisteen määritelmän merkityksessä).
- Lisäksi mikä tahansa tila on hyperbolinen.
Muistiinpanot
- ↑ Lang, Urs; Pavón, Maël; Züst, Roger. Puiden metrinen stabiilius ja tiukat jännevälit // Arch . Matematiikka. (Basel). - 2013. - Vol. 101 , ei. 1 . — s. 91–100 .
Linkit
- Mihail Gromov, Hyperboliset ryhmät. Ryhmäteorian esseitä, 75-263, Math. sci. Res. Inst. Publ., 8, Springer, New York, 1987.