Hyperbolismi Gromovin merkityksessä

Hyperbolisuus Gromovin tai -hyperboliteetin merkityksessä on metrisen avaruuden globaali ominaisuus , karkeasti sanottuna, joka muistuttaa kaarevuuden negatiivisuutta; erityisesti Lobatševsky-avaruus on hyperbolinen Gromovin merkityksessä. $\delta$

Hyperbolisuutta Gromovin merkityksessä käytetään pääasiassa geometrisessa ryhmäteoriassa . Se antaa geometrisen tulkinnan pienille

Määritelmä

Välilyönti on -hyperbolinen, jos jollekin pisteelle $X$ $\delta$ $x,y,z\in X$

(x,z)_{p}\geqslant \min {\big \{}(x,y)_{p},(y,z)_{p}{\big \}}-\delta ,

jossa tarkoittaa Gromovin tuotetta : $(x,y)_{p}$

(y,z)_{x}={\frac {1}{2}}{\big (}|xy|_{X}+|xz|_{X}-|yz|_{X }{\big )}.

Viimeinen epätasa-arvo vastaa

|pq|_{X}+|xy|_{X}\leqslant \max\{|px|_{X}+|qy|_{X},|py|_{X}+|qx |_{X}\}+2\cdot \delta

mille tahansa pisteelle . $p,q,x,y\in X$

On monia muita määritelmiä (joskus vaihtelee useita kertoja). Esimerkiksi seuraavaa: jos avaruus on geodeettinen , niin tämä ehto vastaa sitä tosiasiaa, että minkä tahansa avaruuden pisteen x, y, z kohdalla geodeettisen segmentin [xy] on liiton -naapurissa. [xz] ja [yz]. Toisin sanoen lyhimmällä [xy]:lla on piste t siten, että [xt] on [xz]:n -naapurissa ja [ty] on [zy]:n -naapurissa. $\delta$ $X$ $\delta$ $\delta$ $\delta$

Ominaisuudet

Hyperbolisuus on kvasi-isometristen muunnosten invariantti. Tästä johtuen ryhmän hyperbolisuus ei riipu sanaston metriikan määrittämiseen käytetyn generaattorijärjestelmän valinnasta .
Jos välilyönti sisältää isometrisen kopion , se ei voi olla hyperbolinen. Erityisesti karteesinen tuote ei ole melkein koskaan $\mathbb {R} ^{2}$ [ selventää ] ei voi olla hyperbolinen.
-Hyperbolisen avaruuden injektiivinen runko on -hyperbolinen. [yksi] $\delta$ $\delta$
- Erityisesti mikä tahansa -hyperbolinen avaruus on isometrinen geodeettisen -hyperbolisen avaruuden osajoukolle. $\delta$ $\delta$

Esimerkkejä

Mikä tahansa kompakti tila on hyperbolinen.
Mikä tahansa puu on 0-hyperbolinen avaruus.
Lobatševskin kone on hyperbolinen Gromovin merkityksessä. Oletus , että kaarevuus on yhtä suuri kuin Lobatševskin taso, on -hyperbolinen (nelipisteen määritelmän merkityksessä). $-yksi$ $\ln(2)$
- Lisäksi mikä tahansa tila on hyperbolinen. $\mathrm {CAT} (-1)$ $\ln(2)$

Muistiinpanot

↑ Lang, Urs; Pavón, Maël; Züst, Roger. Puiden metrinen stabiilius ja tiukat jännevälit // Arch . Matematiikka. (Basel). - 2013. - Vol. 101 , ei. 1 . — s. 91–100 .

Linkit

P. de la Harp, E. Gies, Hyperboliset ryhmät Mikhail Gromovin mukaan

Mihail Gromov, Hyperboliset ryhmät. Ryhmäteorian esseitä, 75-263, Math. sci. Res. Inst. Publ., 8, Springer, New York, 1987.