Hyperbolinen ryhmä

Hyperbolinen ryhmä  on äärellisesti generoitu ryhmä, jonka Cayley-graafi metrianavaruutena on Gromovin hyperbolinen .

Määritelmä

Rajallisesti luodussa ryhmässä, jossa on valittuja generaattoreita, on luonnollinen metriikka - sanastometriikka . Ryhmää kutsutaan hyperboliseksi, jos se tällä metriikalla varustettuna osoittautuu hyperboliseksi metriavaruudena. Koska kun valittu generaattorijärjestelmä korvataan, metriikka muuttuu kvasisometrisesti , samalla kun metriavaruuden hyperbolisuus säilyy, konsepti osoittautuu riippumattomaksi generaattorijärjestelmän valinnasta.

Esimerkkejä

• Koska hyperbolisuus on tietyssä mielessä metrisen avaruuden ominaisuuksien "samankaltaisuus" puun kanssa, vapaa ryhmä ( jonka Cayley-graafi on puu), jolla on äärellinen määrä generaattoreita, on hyperbolinen.
• Ryhmä PSL(2,Z) on hyperbolinen.
• Äärillinen ryhmä on hyperbolinen.

• Vapaa Abelin ryhmä kahdella generaattorilla ei ole hyperbolinen.
  • Lisäksi mikään ryhmä, joka sisältää isomorfisen alaryhmän, ei ole hyperbolinen. [1] [2]
• Baumslag-Solitaire-ryhmä B ( m , n ), samoin kuin mikä tahansa ryhmä, joka sisältää B ( m , n ) alaryhmänä, ei ole hyperbolinen.

Ominaisuudet

• Hyperbolisuus säilyy, kun siirrytään äärellisen indeksin alaryhmään.
• Mikä tahansa hyperbolinen ryhmä esitetään äärellisesti : sen antaa äärellinen määrä generaattoreita ja äärellinen määrä suhteita. (Tämän seurauksena hyperbolisia ryhmiä - toisin kuin kaikki ryhmät yleensä - on vain lukemattomia.)
• Hyperbolisuus vastaa lineaarista isoperimetristä epäyhtälöä : triviaali sana, joka on kirjoitettu N:n generaattorin tulona, ​​esitetään CN-konjugaattien tulona perusrelaatioihin (konjugointitulojen pituuden tietyllä säädöllä).

Muistiinpanot

1. ↑ Bridson, Haefliger , 1999 , luku III.Γ, Seuraus 3.10.
2. ↑ Ghys, de la Harpe, 1990 , Ch. 8, Th. 37.

Kirjallisuus

• P. de la Harp, E. Gies, Hyperboliset ryhmät Mikhail Gromovin mukaan
• Bridson, Martin R. Ei-positiivisen kaarevuuden metriset avaruudet / Martin R. Bridson, André Haefliger . - Berlin: Springer-Verlag, 1999. - Voi. 319. - ISBN 3-540-64324-9 . - doi : 10.1007/978-3-662-12494-9 .
• Mihail Gromov, Hyperboliset ryhmät. Ryhmäteorian esseitä, 75-263, Math. sci. Res. Inst. Publ., 8, Springer, New York, 1987.
• Rips, E. Sela, Z. Kanoniset edustajat ja yhtälöt hyperbolisissa ryhmissä. inventaario. Matematiikka. 120 (1995), nro. 3, 489-512.
• Sur les groupes hyperboliques d'après Mikhael Gromov: [ fr. ] . - Boston, MA: Birkhäuser Boston, Inc., 1990. - Voi. 83. - ISBN 0-8176-3508-4 . - doi : 10.1007/978-1-4684-9167-8 .