Cauchyn integraalin pääarvo

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 30.5.2021 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 2 muokkausta .

Cauchyn integraalin pääarvo on yleistys Riemannnin integraalin käsitteestä , jonka avulla voit laskea joitakin poikkeavia virheellisiä integraaleja . Cauchyn integraalin pääarvon idea on, että kun integrointivälit lähestyvät singulaaripistettä molemmilta puolilta "samalla nopeudella", singulariteetit tasoittavat toisensa (vasemmalla ja oikealla olevien erilaisten merkkien takia) ja tuloksena voit saada äärellisen rajan, jota kutsutaan Cauchyn integraalin pääarvoksi. Tällä konseptilla on tärkeitä sovelluksia monimutkaisessa analyysissä ( Sochocki-Plemelja-lause ) [1] .

Joten esimerkiksi integraali on toisen tyyppinen epäasianmukainen integraali, sitä ei ole olemassa, mutta se on olemassa Cauchyn integraalin pääarvon merkityksessä. $\int _{-1}^{1}{\frac {dx}{x}}$

Cauchyn integraalin pääarvon määritelmä

Määritelmä (yksikköpisteelle "∞")

Määritelmä (singulaariselle pisteelle "∞"). Olkoon f (x) määritelty välille (-∞, + ∞) ja f ∈ R ([- A, A]) kaikille A > 0, mutta ensimmäisen tyypin epäsopiva integraali hajoaa. Jos on rajallinen raja $\int _{-\infty }^{+\infty }f(x)\,dx$

\lim _{A\rightarrow +\infty }\int _{-A}^{A}f(x)\,dx,

silloin tätä rajaa kutsutaan Cauchyn integraalin pääarvoksi (tai pääarvoksi Cauchyn merkityksessä) funktiolle f toimialueella (-∞, + ∞) ja sitä merkitään symbolilla

\mathrm {vp} \int _{-\infty }^{+\infty }f(x)\,dx.

Tässä tapauksessa funktion f (x) sanotaan olevan integroitavissa väliin (-∞, + ∞) Cauchyn merkityksessä (tai integroitavissa alueella (-∞, + ∞) Cauchyn merkityksessä).

Esimerkki. Harkitse epäsopivaa integraalia. Tämä integraali hajoaa, koska esimerkiksi integraali on divergentti, mutta tällä integraalilla on pääasiallinen arvo Cauchyn merkityksessä: $\int _{-\infty }^{+\infty }x\,dx.$ $\int _{0}^{+\infty }x\,dx,$

\mathrm {vp} \int _{-\infty }^{+\infty }x\,dx=\lim _{A\rightarrow +\infty }\int _{-A}^{A}x \,dx=\lim _{A\rightarrow +\infty }{\frac {x^{2}}{2}}{\Bigr |}_{-A}^{A}=0.

Lause

Jos f (x) on pariton (-∞, + ∞) ja f ∈ R ([- A, A]) kaikille A > 0, niin f on Cauchyn integroitavissa (-∞, + ∞).
Jos f (x) on parillinen päällä (-∞, + ∞) ja f ∈ R ([- A, A]) kaikilla A > 0, niin integraalin konvergenssi on yhtä suuri kuin integraalin konvergenssi $\int _{-\infty }^{+\infty }f(x)\,dx$ $\int _{0}^{+\infty }f(x)\,dx.$

Määritelmä (ääriselle yksikköpisteelle)

Määritelmä (äärelliselle singulaaripisteelle). Täyttää funktion f : [a, b] → R ehdot:

on olemassa δ > 0 siten, että f ∈ R ([a, c - ε]) ja f ∈ R ([c + ε, b]) kaikille ε ∈ (0, δ)
divergentti on toisen tyyppinen sopimaton integraali $\int _{a}^{b}f(x)\,dx.$

Jos on rajallinen raja

\lim _{\varepsilon \rightarrow +0}\left(\int _{a}^{c-\varepsilon }f(x)\,dx+\int _{c+\varepsilon }^{b}f (x)\,dx\oikea),

silloin tätä rajaa kutsutaan Cauchyn integraalin pääarvoksi (tai pääarvoksi Cauchyn merkityksessä) funktiolle f välissä [a, b] ja sitä merkitään symbolilla

\mathrm {vp} \int _{a}^{b}f(x)\,dx.

Lisäksi funktion f (x) sanotaan olevan Cauchyn integroitavissa [a , b ] (tai integroitavissa segmentissä [a, b] Cauchyn merkityksessä).

Esimerkki. Tarkastellaan toisen tyyppistä väärää integraalia (katso kuva) Se hajoaa, koska esimerkiksi integraali hajoaa. Tässä tapauksessa Cauchyn mukaisen pääarvon ymmärtämisessä tämä integraali on olemassa ja on yhtä suuri kuin nolla: $\int _{-2}^{2}{\frac {dx}{x}}$ $\int _{-2}^{0}{\frac {dx}{x)).$

{\begin{aligned}\mathrm {vp} \int _{-2}^{2}{\frac {dx}{x}}&=\lim _{\varepsilon \rightarrow +0}\left (\int _{-2}^{-\varepsilon }{\frac {dx}{x}}+\int _{\varepsilon }^{2}{\frac {dx}{x}}\right)= \\&=\lim _{\varepsilon \rightarrow +0}\left(\ln |x|{\Bigr |}_{-2}^{-\varepsilon }+\ln |x|{\Bigr |} _{\varepsilon }^{2}\right)=\\&=\lim _{\varepsilon \rightarrow +0}{\big (}\ln |-\varepsilon |-\ln |\varepsilon |{\iso )}=\\&=0.\end{tasattu}}

Useiden yksittäisten pisteiden tapaus integrointivälillä

Esimerkki. Harkitse väärää integraalia (katso kuva). Integrandin f (x) = 2 x / (x²-1) singulaaripisteet ovat pisteet -1, 1 ja ∞. Tämä integraali hajoaa, joten se hajottaa esimerkiksi integraalin $\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {2x}{x^{2}-1}}\,dx$

{\begin{aligned}\int _{2}^{+\infty }{\frac {2x}{x^{2}-1}}\,dx&=\lim _{A\to +\ infty }\int _{2}^{A}{\frac {2x}{x^{2}-1}}\,dx=\\&=\lim _{A\to +\infty }\ln | x^{2}-1|{\Bigr |}_{x=2}^{A}=\\&=\lim _{A\to +\infty }{\big (}\ln |A^{ 2}-1|-\ln 3{\big )}=\\&=+\infty .\end{tasattu))

Ilmeisesti f ∈ R ([1 / ε, −1-ε]) ∩ R ([1 + ε, 1-ε]) ∩ R ([1 + ε, 1 / ε]) kaikille ε ∈ (0 , 1) (koska se on rajoitettu jokaiseen näistä intervalleista). Tarkastetaan funktion f integroitavuus Cauchyn merkityksessä:

{\begin{aligned}\mathrm {vp} \int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {2x}{x^{2}-1}}\,dx&=\lim _{\varepsilon \to 0+}\left(\int _{-1/\varepsilon }^{-1-\varepsilon }{\frac {2x}{x^{2}-1}}\,dx+\ int _{-1+\varepsilon }^{1-\varepsilon }{\frac {2x}{x^{2}-1}}\,dx+\int _{1+\varepsilon }^{1/\varepsilon }{\frac {2x}{x^{2}-1}}\,dx\right)=\\&=\lim _{\varepsilon \to +0}{\Big (}\ln |x^{ 2}-1|{\Bigr |}_{-1/\varepsilon }^{-1-\varepsilon }+\ln |x^{2}-1|{\Bigr |}_{-1+\varepsilon }^{1-\varepsilon }+\ln |x^{2}-1|{\Bigr |}_{1+\varepsilon }^{1/\varepsilon }{\Big )}=\\&=0 .\end{aligned}}

Siksi funktio f on Cauchyn mukaan integroitavissa intervalliin (-∞, + ∞).

Muistiinpanot

↑ Pavlov V.P. Integraalin pääarvo // Physical Encyclopedia : [5 osassa] / Ch. toim. A. M. Prokhorov . - M . : Neuvostoliiton tietosanakirja , 1988. - T. 1: Aharonov - Bohm-ilmiö - Pitkät rivit. — 707 s. - 100 000 kappaletta.

Lähteet

Dorogovtsev A. Ya. Matemaattinen analyysi . - Kiova, korkeakoulu, 1985.