Sileä jakoputki

Sileä jakotukki on jakotukki , jolla on sileä rakenne . Sileät jakotukit ovat luonnollinen perusta differentiaaligeometrian rakentamiselle . Differentiaalisarjassa otetaan käyttöön ylimääräisiä infinitesimaalisia rakenteita - tangenttiavaruus , suuntaus, metriikka, yhteys jne., ja tutkitaan niitä ominaisuuksia, jotka liittyvät näihin objekteihin, jotka ovat muuttumattomia lisärakenteen säilyttävien diffeomorfismien ryhmässä .

Määritelmä

Olkoon Hausdorffin topologinen avaruus . Jos jokaiselle pisteelle on oma naapurinsa , joka on homeomorfinen avaruuden avoimelle osajoukolle , niin sitä kutsutaan paikallisesti euklidiseksi avaruudeksi tai topologiseksi ulottuvuudeksi . $X$ $x\in X$ $U$ $\mathbb {R} ^{n}$ $X$ $n$

Paria , jossa on ilmoitettu homeomorfismi, kutsutaan paikalliskaavioksi pisteessä . Siten jokainen piste vastaa joukkoa reaalilukuja , joita kutsutaan kartan koordinaatteiksi . Karttajoukkoa kutsutaan monimutkaiseksi atlasiksi , jos: $(U,\phi )$ $\phi$ $X$ $x$ $n$ $(x^{1},\ldots ,x^{n})$ $(U,\phi )$ $\{(U_{\alpha },\phi _{\alpha })\},\alpha \in A,$ $C^k$ $(0\leqslant k\leqslant \infty )$ $X$

kaikkien kansien kokonaisuus , ts. $U_{\alpha }$ $X$ $X=\kuppi _{{\alpha \in A}}U_{\alpha }$
mille tahansa sellaiselle, että kartoitus: $\alpha ,\beta \in A$ $U_{\alpha }\cap U_{\beta }\neq \varnothing$

\phi _{{\alpha }}^{{\beta }}=\phi _{\beta }\circ \phi _{\alpha }^{{-1}}:\phi _{\alpha }(U_ {\alpha }\cap U_{\beta })\to \phi _{\beta }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })

on sujuva luokan kartoitus ;

C^k

{\displaystyle \phi _{\alpha }^{\beta ))

on kartoitus nollasta poikkeavalla jakobilaisella ja sitä kutsutaan kartoitukseksi kartan liimaamisesta karttaan

(U_{\alpha },\phi _{\alpha })

(U_{\beta },\phi _{\beta }).

Kahden -atlasin sanotaan olevan ekvivalentti , jos niiden liitto muodostaa jälleen -atlaksen. Joukko -atlaseja on jaettu ekvivalenssiluokkiin, joita kutsutaan - rakenteet , - differentiaalisille (tai sileille) rakenteille. $C^k$ $C^k$ $C^k$ $C^k$ $1\leqslant k\leqslant \infty$

Topologista monistoa , jolla on -rakenne , kutsutaan sileäksi jakosarjaksi . $X$ $C^k$ $C^k$

Muistiinpanot

Jos lisäksi liimauskartat ovat analyyttisiä , tämä määritelmä antaa analyyttisen rakenteen, jota joskus merkitään -rakenteella. $C^{a}$

Monimutkaiset jakoputket

Analyyttisen ja algebrallisen geometrian ongelmat johtavat siihen, että määriteltäessä on otettava huomioon differentiaalirakenne yleisempien avaruuksien avaruuden sijaan tai jopa , jossa on täydellinen ei-diskreetti normikenttä. Joten tapauksessa tarkastelemme holomorfisia ( analyyttisiä komplekseja) -rakenteita ( ) ja niitä vastaavia sileitä monistoja — kompleksisia monistoja . Lisäksi jokaisella tällaisella jakosarjalla on myös luonnollinen todellinen analyyttinen rakenne. $\mathbb {R} ^{n}$ $\mathbb {C} ^{n}$ $K^n$ $K$ $K=\mathbb {C}$ $C^k$ $k\geqslant 1$

Yhteensopivat rakenteet

Jokaisessa analyyttisessä monistossa on sen kanssa yhdenmukainen -rakenne ja -jakosarjalla , -rakenne jos . Toisaalta mikä tahansa parakompakti -monisto, , voidaan varustaa annetun kanssa yhteensopivalla analyyttisellä rakenteella, ja tämä rakenne ( isomorfismiin ) on ainutlaatuinen. Saattaa kuitenkin käydä niin, että -jakosarjaa ei voida varustaa -rakenteella, ja jos tämä onnistuu, niin tällainen rakenne ei välttämättä ole ainutlaatuinen. Esimerkiksi -ei-isomorfisten -rakenteiden lukumäärä -ulotteisella pallolla on: $C^\infty$ $C^\infty$ $0\leqslant k\leqslant \infty$ $C^{r}$ $0\leqslant r\leqslant k$ $C^{r}$ $r\geqslant 1$ $C^{0}$ $C^1$ ${\näyttötyyli \theta (n)}$ $C^1$ $C^\infty$ $n$

$n$	yksi	2	3	neljä	5	6	7	kahdeksan	9	kymmenen	yksitoista	12
${\näyttötyyli \theta (n)}$	yksi	yksi	yksi		yksi	yksi	28	2	kahdeksan	6	992	yksi

Näyttää

Antaa olla jatkuva kartoitus -manifolds ; sitä kutsutaan tasaisten monistojen -morfismiksi (tai -kartoitukseksi , tai luokan kartoitukseksi ), jos jollekin kaavioparille X :llä ja Y :llä , kuten kartoitus: $f:X\Y:ksi$ $C^{r}$ $X,Y$ $C^k$ $C^k$ $k\leqslant r$ $C^k$ $(U_{\alpha },\phi _{\alpha })$ $(V_{\beta },\psi _{\beta })$ $f(U_{\alpha })\subset V_{\beta }$

\psi _{\beta }\circ f\circ \phi _{\alpha }^{{-1)):\phi _{\alpha }(U_{\alpha })\to \psi _{\beta } (V_{\beta })

kuuluu luokkaan . Bijektiivista kartoitusta , jos ne ovat -karttoja , kutsutaan isomorfismiksi (tai diffeomorfismiksi ). Tässä tapauksessa ja ja niiden -rakenteiden sanotaan olevan -isomorfisia. $C^k$ $f$ $f^{-1}$ $C^k$ $C^k$ $X$ $Y$ $C^{r}$ $C^k$

Osajoukot ja upotukset

-Dimensionaalisen -moniston osajoukkoa kutsutaan - ulottuvuuden alijoukoksi , jos mielivaltaiselle pisteelle on olemassa -rakennekartta , joka ja indusoi homeomorfismin (suljetun) aliavaruuden kanssa ; toisin sanoen on olemassa kartta, jossa on koordinaatit , jotka määräytyvät suhteiden avulla . $Y$ $n$ $C^k$ $X$ $C^k$ $m$ $X$ $y\in Y$ $(U,\phi )$ $C^k$ $X$ $y\in U$ $\phi$ $U\cap Y$ $\mathbb{R} ^{m}\subset \mathbb{R} ^{n}$ $(x^{1},\ldots ,x^{n})$ $U\cap Y$ $x^{m+1}=\ldots =x^{n}=0$

Kuvausta kutsutaan - upotukseksi , jos se on -alimonisto ja on -diffeomorfismi. $f:X\Y:ksi$ $C^k$ $f(X)$ $C^k$ $Y$ $X\to f(X)$ $C^k$

Mikä tahansa -ulotteinen -monisto sallii upotuksen sekä sisään että sisään . Lisäksi tällaisten upotusten joukko on kaikkialla tiheä kartoitusavaruudessa kompakti avoimen topologian suhteen . Siten sileiden monistojen tarkastelu euklidisen avaruuden alijoukkoina antaa yhden tavan tutkia niiden teoriaa, jolloin esimerkiksi vahvistetaan edellä mainittuja analyyttisiä rakenteita koskevia lauseita. $n$ $C^k$ $\mathbb{R} ^{{2n+1}}$ $\mathbb{R} ^{{2n}}.$ $C^{k}(X,\mathbb{R} ^{{2n+1}})$

Kirjallisuus

Bourbaki N. Erottuvat ja analyyttiset jakoputket. Yhteenveto tuloksista / per. ranskasta G. I. Olshansky. - M .: Mir, 1975. - 220 s.
Dubrovin B. A., Novikov S. P. , Fomenko A. T. Moderni geometria: menetelmät ja sovellukset. - 2. painos, tarkistettu. - M . : Nauka, Ch. toim. Fys.-Math. palaa. , 1986. - 760 s.
Kobayashi Sh., Nomizu K. Differentiaaligeometrian perusteet. - M .: Nauka, 1981. - T. 1. - 344 s.
de Ram J. Erottuvat jakoputket / käänn. ranskasta D. A. Vasilkova. - M .: IL, 1956. - 250 s.
Leng S. Johdatus differentioituvien jakoputkien teoriaan / per. englannista. I. M. Dektyareva. - M .: Mir, 1967. - 203 s.
Narasimhan R. Analyysi todellisista ja monimutkaisista monimutkaisista / per. englannista. E. M. Chirki. — M .: Mir , 1971. — 232 s.
Pontryagin LS Smooth-jakoputket ja niiden sovellukset homotopiateoriassa. - 2. painos - M .: Nauka, 1976. - 176 s.
Postnikov M. M. Johdatus Morse-teoriaan. - M .: Nauka, 1971. - 568 s.
Rokhlin V. A. , Fuchs D. B. Topologian alkukurssi. Geometriset päät. - M .: Nauka, 1977. - 487 s.
Whitney X. Geometrinen integraatioteoria / per. englannista. I. A. Vainshtein. - M .: IL, 1960. - 355 s.
Wells R. Differentiaalilaskenta monimutkaisilla jakoputkistoilla / per. englannista. toim. B. S. Mityagin. - M .: Mir, 1976. - 284 s.