Ryhmä rengas

Ryhmärengas on rengas , joka on samalla vapaa moduuli , joka voidaan rakentaa tietystä renkaasta ja tietystä ryhmästä . Epävirallisesti sanottuna ryhmärengas on vapaa moduuli renkaan päällä, jonka perusta on bijektiivisessa vastaavuudessa ryhmän elementtien kanssa ; kantaelementtien kertolasku määritellään ryhmän elementtien kertolaskuksi, ja kertolasku "laajenee pitkin lineaarisuus" muihin elementteihin nähden. $K[G]$ $K,$ $g,$

Ryhmärenkaiden laitteisto on erityisen hyödyllinen ryhmäesitysteoriassa .

Määritelmä

Olkoon rengas ja olkoon ryhmä. Tällöin ryhmärengas on joukko muodon äärellisiä muodollisia summia , jotka lasketaan yhteen ja kerrotaan seuraavasti: $K$ $G$ $K[G]$ $\alpha =\sum _{{g\in G}}a_{g}g,\quad a_{g}\in K$

Jos , niin $\alpha =\sum _{{g\in G}}a_{g}g,\ \beta =\sum _{{g\in G}}b_{g}g$

\alpha +\beta =\sum _{{g\in G}}(a_{g}+b_{g})g

\alpha \cdot \beta =\sum _{{g\in G}}\left(\sum _{{xy=g, \atop x,y\in G}}a_{x}b_{y}\right )g

Ominaisuudet

Jos ja ovat kommutatiivisia, niin se on kommutatiivinen. $K$ $G$ $K[G]$
Jos on rengas yksiköllä, niin on rengas yksiköllä. $K$ $K[G]$
Sisään upottaminen muodostaa ryhmärenkaan perustan. $G$ $K[G]$
Jos on aliryhmä , niin on renkaan aliryhmä . $H$ $G$ $K[H]$ $K[G]$
Olkoon kenttä , jolloin jokainen elementti voidaan liittää vektoriavaruuden lineaarimuunnoksiin - kertomalla vasemmalla olevalla vastaavalla kantavektorilla. Tämä kartoitus määrittää ryhmän säännöllisen esityksen . $K$ $G$ $K[G]$

Kirjallisuus

B.L. van der Waerden. Algebra. - M .: Nauka, 1976.
Naimark M. Ryhmien esitysteoria. - M .: Nauka, 1976.