Tasograafin duaali on graafi, jonka kärjet vastaavat graafin kasvoja ; kaksi kärkeä on yhdistetty reunalla, jos ja vain jos graafin vastaavilla pinnoilla on yhteinen reuna. Esimerkiksi kuutio- ja oktaedrikuvaajat ovat kaksoiskäyrät keskenään .
Termiä duaali käytetään, koska tämä ominaisuus on symmetrinen - jos H on duaali G :n kanssa, niin G on duaali H :n kanssa (olettaen , että G on kytketty ). Samaa käsitettä voidaan käyttää graafien upottamiseen monistoon . Graafin kaksinaisuuden käsite eroaa graafin reuna-vertex -kaksoinnista ( viivakaaviosta ), eikä näitä kahta pidä sekoittaa.
Kaksinaisuuden vuoksi nämä arvot voidaan vaihtaa mille tahansa tulokselle, joka käyttää kasvojen ja kärkien määrää.
Graafin sanotaan olevan itseduaali, jos se on isomorfinen duaaligraafinsa kanssa . Esimerkiksi tetraedrigraafi on itsedual .
Olkoon G yhdistetty graafi. Graafin G ★ sanotaan olevan algebrallisesti duaali graafin G kanssa siten , että G :llä ja G ★ :llä on samat reunat, mikä tahansa sykli G : ssä on G ★ : n leikkaus ja mikä tahansa G :n leikkaus on G ★ : n sykli . Jokaisella tasograafilla on algebrallinen kaksoisgraafi, joka ei yleensä ole ainutlaatuinen (kaksoisgraafi määräytyy pinoamisen mukaan). Päinvastoin on myös totta – kuten Hassler osoitti tasoisuuskriteerissään [2] , yhdistetty graafi on tasomainen silloin ja vain, jos sillä on algebrallisesti duaaligraafi.
Sama tosiasia voidaan ilmaista matroiditeorialla : jos M on graafin G graafimatroidi : n kaksoismatroidi [en] on graafimatroidi silloin ja vain, jos G on tasomainen. Jos G on tasomainen, niin kaksoismatroidi on G :n kaksoisgraafin graafimatroidi.
Heikosti duaali tasograafiin on duaaligraafin aligraafi , jonka kärjet vastaavat alkuperäisen graafin rajattuja pintoja. Tasograafi on ulompi silloin ja vain, jos sen duaali on metsä ja tasograafi on Halin-graafi silloin ja vain, jos sen heikosti duaali on kaksinkertaisesti kytketty ja ulompi. Olkoon G + minkä tahansa tasograafin G tasomonigrafi, joka muodostetaan lisäämällä yksi kärki v G :n rajaamattomaan pintaan ja yhdistämällä v kaikkiin ulkopinnan kärkipisteisiin (useita kertoja, jos kärki esiintyy useita kertoja kasvot). Nyt G on G :n (taso)duaalin heikosti duaali + graafi [3] [4] .