Fresnel-diffraktio

Fresnel -diffraktio on diffraktiokuvio , joka havaitaan pienellä etäisyydellä esteestä olosuhteissa, joissa näytön rajat vaikuttavat pääasiassa häiriökuvioon .

Fresnel-diffraktio : $F={\frac {\rho ^{2}}{z\lambda }}\geqslant 1$
Fraunhofer-diffraktio : $F={\frac {\rho ^{2}}{z\lambda }}\ll 1$

Kuvassa on kaavamaisesti (vasemmalla) läpinäkymätön näyttö, jossa on pyöreä reikä ( aukko ), jonka vasemmalla puolella on valonlähde . Kuva on kiinnitetty toiselle näytölle - oikealle. Diffraktiosta johtuen reiän läpi kulkeva valo hajoaa, joten geometrisen optiikan lakien mukaan tummennettu alue tulee osittain valaistuksi . Alueella, joka olisi valaistu suoraviivaisella valon etenemisellä, havaitaan valaistuksen voimakkuuden vaihteluita samankeskisten renkaiden muodossa.

Fresnel -diffraktion diffraktiokuvio riippuu ruutujen välisestä etäisyydestä ja valonlähteiden sijainnista. Se voidaan laskea olettamalla, että jokainen aukon rajalla oleva piste lähettää pallomaisen aallon Huygensin periaatteen mukaisesti . Toisen näytön havaintopisteissä aallot joko vahvistavat toisiaan tai kumoavat polkuerosta riippuen .

Fresnel-integraali

Diffraktion skalaariteoriassa taittuvan valon sähkökentän jakautuminen pisteessä (x, y, z) saadaan Rayleigh-Sommerfeldin lausekkeella:

E(x,y,z)=-{i \over \lambda }\iint _{{-\infty }}^{{+\infty }}{E(x',y',0){\frac { e^{{ikr}}}{r}}\cos \theta }dx'dy'

jossa , on imaginaariyksikkö ja on z- ja r -suuntien välisen kulman kosini . Analyyttisessä muodossa tämä integraali voidaan esittää vain yksinkertaisimmille reikien geometrioille, joten se lasketaan yleensä numeerisilla menetelmillä. $r={\sqrt {(xx')^{2}+(yy')^{2}+z^{2))}$ $i$ $\cos \theta ={\frac {z}{r))$

Fresnel-likiarvo

Suurin vaikeus integraalin laskemisessa on r :n lauseke . Ensinnäkin yksinkertaistamme laskelmia muuttamalla muuttujia:

{\displaystyle \rho ^{2}=(xx')^{2}+(yy')^{2))

Korvaamalla tämän lausekkeen r :n saamme:

r={\sqrt {\rho ^{2}+z^{2}}}=z{\sqrt {1+{\frac {\rho ^{2}}{z^{2}}}}}

Käytämme Taylor - sarjan laajennusta

{\sqrt {1+u}}=(1+u)^{{1/2}}=1+{\frac {u}{2}}-{\frac {u^{2}}{8} }+\cdots

ja ilmaista r as

r=z{\sqrt {1+{\frac {\rho ^{2}}{z^{2}}}}}=z\left[1+{\frac {\rho ^{2}}{2z ^{2}}}-{\frac {1}{8}}\left({\frac {\rho ^{2}}{z^{2}}}\oikea)^{2}+\cdots \ oikea]=z+{\frac {\rho ^{2}}{2z}}-{\frac {\rho ^{4}}{8z^{3}}}+\cdots

Jos otamme huomioon kaikki laajennuksen ehdot, tämä on tarkka lauseke [1] . Korvaamme tämän lausekkeen integraalin alla olevan eksponentiaalisen funktion argumentiksi; avainrooli Fresnel-approksimaatiossa on kolmannen termin laiminlyönnillä laajennuksessa, jonka oletetaan olevan pieni. Jotta tämä olisi mahdollista, sillä on oltava vain vähän vaikutusta eksponenttiin. Toisin sanoen sen on oltava paljon pienempi kuin eksponentin jakso, eli : $2\pi$

k{\frac {\rho ^{4}}{8z^{3}}}\ll 2\pi .

Ilmaisee k aallonpituudella,

{\displaystyle k={2\pi \over \lambda ))

saamme seuraavan suhteen:

{\frac {\rho ^{4}}{z^{3}\lambda }}\ll 8

Kerrotaan molemmat puolet arvolla , saadaan $z/\lambda$

{\frac {\rho ^{4}}{z^{2}\lambda ^{2}}}\ll 8{z \over \lambda }

tai korvaamalla ρ 2 aiemmin saadulla lausekkeella ,

{\frac {[(xx')^{2}+(yy')^{2}]^{2}}{z^{2}\lambda ^{2}}}\ll 8{z \over \ lambda}

Jos tämä ehto täyttyy kaikille x:n, x':n, y:n ja y':n arvoille , voimme jättää huomiotta Taylor - laajennuksen kolmannen termin. Lisäksi, jos kolmas termi on pieni, kaikki myöhemmät korkeampien tilausten ehdot ovat myös pieniä ja ne voidaan jättää huomiotta. Sitten lauseke voidaan approksimoida käyttämällä kahta laajennustermiä:

r\noin z+{\frac {(xx')^{2}+(yy')^{2}}{2z}}

Tätä lauseketta kutsutaan Fresnel-approksimaatioksi , ja aiemmin saatu epäyhtälö on tämän approksimoinnin sovellettavuuden ehto.

Fresnel-diffraktio

Soveltuvuusehto on melko heikko ja antaa meille mahdollisuuden ottaa kaikki ominaismitat vertailukelpoisiksi arvoiksi, jos aukko on paljon pienempi kuin reitin pituus. Lisäksi, koska olemme kiinnostuneita vain pienestä alueesta lähellä lähdettä, x ja y ovat paljon pienempiä kuin z , oletetaan, että tämä tarkoittaa , ja r nimittäjässä voidaan approksimoida lausekkeella . $\theta \noin 0$ $\cos \theta \noin 1$ $r\noin$

Toisin kuin Fraunhofer - diffraktiossa, Fresnel-diffraktion on otettava huomioon aaltorintaman kaarevuus , jotta se ottaa asianmukaisesti huomioon häiritsevien aaltojen suhteelliset vaiheet .

Fresnel-diffraktion sähkökenttä pisteessä (x,y,z) annetaan seuraavasti:

E(x,y,z)=-{i \over \lambda }{e^{{ikz}} \over z}\iint _{{-\infty }}^{{+\infty }}E(x ',y',0)e^{{{ik \over 2z}[(xx')^{2}+(yy')^{2}]}}dx'dy'

Tämä on Fresnel-diffraktiointegraali; se tarkoittaa, että jos Fresnel-approksimaatio on voimassa, etenevä kenttä on aalto, joka alkaa aukosta ja liikkuu z :tä pitkin . Integraali moduloi palloaallon amplitudia ja vaihetta. Tämän lausekkeen analyyttinen ratkaisu on mahdollista vain harvoissa tapauksissa. Lisäyksinkertaistusta varten, joka koskee vain paljon suurempia etäisyyksiä diffraktiolähteestä, katso Fraunhofer-diffraktio .

Katso myös

Muistiinpanot

↑ Approksimaatio oli kuitenkin edellisessä vaiheessa, kun oletimme, että se oli reaaliaalto. Todellisuudessa vektori Helmholtzin yhtälölle ei ole todellista ratkaisua , vain skalaarille. Katso skalaariaallon approksimaatio $e^{{ikr}}/r$

Kirjallisuus

Landau L.D. , Lifshits E.M. Kenttäteoria. - 7. painos, tarkistettu. — M .: Nauka , 1988. — 512 s. - (" Teoreettinen fysiikka ", osa II). — ISBN 5-02-014420-7 .
Sivukhin DV Yleinen fysiikan kurssi. — M .. - T. IV. Optiikka.

Linkit

http://www.falstad.com/diffraction/