Grunwald-Letnikov-differentiaaliintegraali

Matematiikassa Grunwald – Letnikov-differentiaaliintegraali on yksi tärkeimmistä derivaatan yleistyksistä murtolukulaskennassa , mikä mahdollistaa derivaatan ottamisen ei-kokonaislukumäärän kertoja. Sen esittelivät Anton Karl Grunwald vuonna 1867 ja A. V. Letnikov vuonna 1868.

Grunwald-Letnikov-differentiaalin integraalin rakentaminen

Johdannaisen kaava

f'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h))

voidaan soveltaa rekursiivisesti korkeamman asteen johdannaisten saamiseksi. Esimerkiksi toisen asteen johdannaiselle saamme:

f''(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f'(x+h)-f'(x)}{h}}=

=\lim _{h_{1}\to 0}{\frac {\lim \limits _{h_{2}\to 0}{\dfrac {f(x+h_{1}+h_{2 })-f(x+h_{1})}{h_{2}}}-\lim \limits _{h_{2}\to 0}{\dfrac {f(x+h_{2})-f (x)}{h_{2}}}}{h_{1}}}.

Olettaen, että kaikki lisäykset pyrkivät nollaamaan samalla tavalla, tätä lauseketta voidaan yksinkertaistaa: $h$

f''(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+2h)-2f(x+h)+f(x)}{h^{2))} ,

joka voidaan perustella tiukasti äärellisen lisäyskaavan avulla . Yleensä meillä on (katso binomiaaliset kertoimet ):

d^{n}f(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {1}{h^{n))}\sum _{m=0}^{n}(- 1)^{m}{n\valitse m}f(x+(nm)h).

Muodollisesti poistamalla rajoituksen, joka on positiivinen luku, on luonnollista määritellä: $n$

\mathbb {D} ^{q}f(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {1}{h^{q}}}\sum _{0\leqslant m<\ infty }(-1)^{m}{q \choose m}f(x+(qm)h).

Tämä on Grunwald-Letnikov-differentiaaliintegraalin määritelmä.

Toinen merkintä

Määritelmä voidaan myös kirjoittaa uudelleen yksinkertaisemmin ottamalla käyttöön merkintä:

\Delta _{h}^{q}f(x)=\sum _{0\leqslant m<\infty }(-1)^{m}{q \choose m}f(x+(qm) h).

Sitten määritelmä saa muodon:

\mathbb {D} ^{q}f(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {\Delta _{h}^{q}f(x)}{h^{q }}}.

Linkit

Oldham, K. ja Spanier, J. The Fractional Calculus - Kustantaja: Academic Press, 1974. - 234 s. — ISBN 0-12-52555-0-0 .