Vapaa polun pituus

Molekyylin keskimääräinen vapaa polku on keskimääräinen etäisyys , jonka hiukkanen kulkee kahden peräkkäisen törmäyksen välisenä aikana. [yksi] $\lambda$

Jokaiselle molekyylille tämä etäisyys on erilainen, joten kaasujen kineettisessä teoriassa keskimääräinen vapaa reitti ymmärretään [2] keskimääräiseksi vapaaksi poluksi < >, joka on ominaisuus koko kaasumolekyylijoukolle annetuilla arvoilla. paineesta ja lämpötilasta . $\lambda$

Sirontateoria

Kuvittele hiukkasvirta, joka kulkee kohteen läpi, jonka koko on , ja harkitse tämän kohteen äärettömän ohutta kerrosta (katso kuva). [3] Punainen tarkoittaa tässä atomeja, joiden kanssa tulevan säteen hiukkaset voivat törmätä. Vapaan polun arvo riippuu tämän järjestelmän ominaisuuksista. Jos kaikki kohdehiukkaset ovat levossa, keskimääräisen vapaan polun lauseke näyttää tältä: $L\times L$

\ell =(\sigma n)^{-1},

missä n on kohdehiukkasten lukumäärä tilavuusyksikköä kohti ja σ on tehollinen poikkileikkaus .

Tällaisen kerroksen pinta-ala on L 2 , tilavuus L 2 dx ja silloin liikkumattomien atomien lukumäärä siinä on n L 2 dx . Todennäköisyys , että tämä yhden hiukkasen kerros siroaa, on yhtä suuri kuin kaikkien sirontahiukkasten "päällekkäisen" poikkileikkausalan osan suhde koko poikkileikkauspinta-alaan: $dP$

dP={\frac {\sigma nL^{2}\,dx}{L^{2}}}=n\sigma \,dx,

missä σ on yhden atomin pinta-ala tai tarkemmin sanottuna sirontapoikkileikkaus.

Tällöin vuon intensiteetin lasku on yhtä suuri kuin alkuperäinen intensiteetti kerrottuna hiukkasten sironnan todennäköisyydellä kohteen sisällä: $dI$

dI=-In\sigma \,dx.

Saamme differentiaaliyhtälön

{\frac {dI}{dx}}=-In\sigma =-{\frac {I}{\ell )),

jonka ratkaisu tunnetaan Bouguerin laina [ 4 ] ja jonka muoto on läpäissyt säteen hiukkasen ennen pysähtymistä. Varmistaaksesi tämän, huomaa, että todennäköisyys, että hiukkanen siroaa kerroksessa x :stä x + dx :ään on yhtä suuri kuin ${\displaystyle I=I_{0}e^{-x/\ell ))$

dP(x)={\frac {I(x)-I(x+dx)}{I_{0}}}={\frac {1}{\ell }}e^{-x/\ ell}dx.

Ja siten x : n keskiarvo on yhtä suuri

\langle x\rangle =\int _{0}^{\infty }xdP(x)=\int _{0}^{\infty }{\frac {x}{\ell }}e^{ -x/\ell }\,dx=\ell .

Kohteen levittämättömien hiukkasten osuuden suhdetta sen pinnalle osuvaan määrään kutsutaan läpäisevyydeksi , jossa x = dx on tavoitepaksuus. $T=I/I_{0}=e^{-x/\ell }$

Kineettinen teoria

Kaasujen kineettisessä teoriassa hiukkasen (esimerkiksi molekyylin) keskimääräinen vapaa reitti on keskimääräinen matka, jonka hiukkanen kulkee törmäysten välisenä aikana muiden liikkuvien hiukkasten kanssa. Yllä olevassa johdannossa oletettiin, että kohdehiukkaset ovat levossa, joten kaava pätee yleensä vain sattuville hiukkasille, joiden nopeudet ovat korkeat suhteessa samojen hiukkasten joukon nopeuksiin satunnaisesti. Tässä tapauksessa kohdehiukkasten liikkeet ovat merkityksettömiä ja suhteellinen nopeus on suunnilleen yhtä suuri kuin hiukkasen nopeus. ${\displaystyle \ell =(n\sigma )^{-1))$

Jos toisaalta säteen hiukkanen on osa vakiintunutta tasapainojärjestelmää, jossa on identtisiä hiukkasia, niin suhteellisen nopeuden neliö on yhtä suuri:

${\overline {\mathbf {v} _{\rm {relative}}^{2}}}={\overline {(\mathbf {v} _{1}-\mathbf {v} _{2 })^{2))}={\overline {\mathbf {v} _{1}^{2}+\mathbf {v} _{2}^{2}-2\mathbf {v} _{1 }\cdot \mathbf {v} _{2}}}.$

Tasapainotilassa nopeuksien ja arvot ovat satunnaisia ja riippumattomia, joten , ja suhteellinen nopeus on yhtä suuri kuin ${\displaystyle \mathbf {v} _{1))$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{2))$ ${\overline {\mathbf {v} _{1}\cdot \mathbf {v} _{2))}=0$

$v_{\rm {rel}}={\sqrt {\overline {\mathbf {v} _{\rm {suhteellinen}}^{2))))={\sqrt {\overline {\mathbf { v} _{1}^{2}+\mathbf {v} _{2}^{2))))={\sqrt {2}}v.$

Tämä tarkoittaa, että törmäysten määrä on yhtä suuri kuin , kertaa paikallaan olevien kohteiden lukumäärä. Siksi seuraava suhde pätee: [5] ${\sqrt {2}}$

$\ell =({\sqrt {2}}\,n\sigma )^{-1}$

Mendeleev -Clapeyronin laista ja ottaen huomioon ( tehollinen poikkileikkausala pallomaisille hiukkasille, joiden säde on ) voidaan osoittaa, että keskimääräinen vapaa polku on [6] $n=N/V=p/(k_{\text{B}}T)$ ${\displaystyle \sigma =\pi (2r)^{2}=\pi d^{2))$ $r$

\ell ={\frac {k_{\text{B}}T}{{\sqrt {2}}\pi d^{2}p)),

missä k B on Boltzmannin vakio .

Käytännössä kaasumolekyylien halkaisijaa ei ole tarkasti määritelty. Itse asiassa molekyylin kineettinen halkaisija määräytyy keskimääräisen vapaan reitin mukaan. Yleisesti ottaen kaasumolekyylit eivät toimi kuin kovia palloja, vaan pikemminkin vetävät toisiaan puoleensa suurilla etäisyyksillä ja hylkivät toisiaan pienemmillä, mitä voidaan kuvata Lennard-Jonesin potentiaalin avulla . Yksi tapa kuvata tällaisia "pehmeitä" molekyylejä on käyttää Lennard-Jones-parametria σ halkaisijana. Toinen tapa on olettaa, että kaasulla kovan pallon mallissa on sama viskositeetti kuin kyseessä olevan todellisen kaasun . Tämä johtaa keskimääräiseen vapaaseen polkuun [7]

\ell ={\frac {\mu }{p}}{\sqrt {\frac {\pi k_{\text{B}}T}{2m}}},

missä m on molekyylin massa ja μ on viskositeetti . Tämä lauseke voidaan kätevästi esittää seuraavasti:

\ell ={\frac {\mu }{p}}{\sqrt {\frac {\pi R_{u}T}{2M}}},

missä on yleinen kaasuvakio ja on molekyylipaino . Nämä erilaiset molekyylin halkaisijan määritelmät voivat johtaa hieman erilaisiin keskimääräisiin vapaisiin reitteihin. ${\displaystyle R_{u))$ $M$

Kaava

\lambda ={\frac {1}{{\sqrt {2}}\sigma n}}

, jossa on molekyylin tehollinen poikkileikkaus , joka on yhtä suuri kuin ( on molekyylin tehollinen halkaisija ), ja on molekyylien pitoisuus .

\sigma

{\pi d^{2))

d

n

Esimerkkejä

Seuraavassa taulukossa on esitetty ilmamolekyylien tyypilliset keskimääräiset vapaat reitit huoneenlämpötilassa eri paineilla.

Painealue _	Paine, Pa	Paine, mm Hg	Pitoisuus , molekyylit / cm3	Pitoisuus , molekyylit/ m3	Vapaa polun pituus
Ilmakehän paine	101300	759,8	2,7 × 10 19	2,7 × 10 25	68 [8] nm
alhainen tyhjiö	30 000 - 100	220 - 8 × 10 -1	10 19 - 10 16	10 25 - 10 22	0,1 - 100 µm
Keskityhjiö	100 - 10 -1	8 × 10 -1 - 8 × 10 -4	10 16 - 10 13	10 22 - 10 19	0,1 - 100 mm
korkea tyhjiö	10 -1 - 10 -5	8 × 10 -4 - 8 × 10 -8	10 13 - 10 9	10 19 - 10 15	10 cm - 1 km
Ultrakorkea tyhjiö	10-5-10-10 _ _ _	8 × 10 -8 - 8 × 10 -13	10 9 - 10 4	10 15 - 10 10	1 km - 10 5 km
äärimmäinen tyhjiö	< 10-10	<8×10 −13	<10 4	<10 10	> 105 km

Katso myös

Muistiinpanot

↑ Marion Brünglinghaus. Tarkoittaa vapaata polkua . Euronuclear.org . (määrätön)
↑ Aleshkevich V.A. Yleisen fysiikan kurssi. Molekyylifysiikka - M. : FIZMATLIT, 2016. - S. 281-283. - 312 s. — ISBN 978-5-9221-1696-1 .
↑ Chen, Frank F. Johdatus plasmafysiikkaan ja kontrolloituun fuusioon . – 1. - Plenum Press, 1984. - S. 156 . - ISBN 0-306-41332-9 .
↑ Sivukhin D.V. Fysiikan yleinen kurssi // Valon absorptio ja spektrilinjojen leveneminen. - Moskova, 2005. - S. 582-583. — 792 s. — ISBN ISBN 5-9221-0228-1 .
↑ S. Chapman ja T. G. Cowling, Epäyhtenäisten kaasujen matemaattinen teoria Arkistoitu 7. marraskuuta 2020 Wayback Machinessa , 3. päivä. painos, Cambridge University Press, 1990, ISBN 0-521-40844-X , s. 88.
↑ Keskimääräinen vapaa polku, molekyylitörmäykset . hyperphysics.phy-astr.gsu.edu. Haettu 8. marraskuuta 2011. Arkistoitu alkuperäisestä 28. lokakuuta 2011. (määrätön)
↑ Vincenti, WG ja Kruger, CH Johdatus fyysiseen kaasudynamiikkaan. - Krieger Publishing Company, 1965. - s. 414.
↑ SG Jennings. Keskimääräinen vapaa polku ilmassa (englanniksi) // Journal of Aerosol Science. - 1988-04. — Voi. 19 , iss. 2 . — s. 159–166 . - doi : 10.1016/0021-8502(88)90219-4 . Arkistoitu alkuperäisestä 8. maaliskuuta 2021.

Linkit

Vapaa polun pituus - artikkeli Physical Encyclopediasta

Sanakirjat ja tietosanakirjat	iso kiinalainen iso kiinalainen Iso venäläinen Britannica (verkossa)
Bibliografisissa luetteloissa	GND : 4170260-8