Potenotin ongelma

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 12.1.2020 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 8 muokkausta .

Potenot-tehtävä ( käänteinen geodeettinen resektio ) on yksi klassisista matemaattisista ongelmista pisteen sijainnin määrittämiseksi maassa käyttämällä kolmea maamerkkiä, joilla on tunnetut koordinaatit; tapahtuu esimerkiksi määritettäessä laivan sijaintia merellä kolmen majakan avulla, joiden etäisyyttä ei tunneta. Siinä on yli 100 analyyttistä ja graafista ratkaisua, ja se on erikoistapaus ja yleistys trilateraatio- ja triangulaatioongelmista . Se on saavuttanut suuren käytännön merkityksen eri aloilla ( geodesia , navigointi , rakettien ja tykistötulen säätö [1] ) eikä ole menettänyt merkitystään nykypäivään.

Potenotin ongelman selvitys

Etsi tasosta piste, josta tietyn (litteän) kolmion sivut ovat näkyvissä tietyissä kulmissa.

huomautus . Jos kaikki nämä kulmat ovat keskenään yhtä suuret ja 120 astetta, haluttu piste on Point Torricelli . Määritetty piste ei saa sijaita kolmen aloituspisteen läpi kulkevan ympyrän lähellä [2] .

Historia

Hollantilainen matemaatikko Snellius ratkaisi ongelman ensimmäisenä analyyttisesti vuonna 1616. Kuitenkin vuonna 1692 ranskalainen matemaatikko L. Potenot (1660-1732) ehdotti parempaa ratkaisua tähän ongelmaan, joka myöhemmin sai nimensä [3] . Eri aikoina siihen osallistuivat kartografit I. G. Leman (1765-1811), A. P. Bolotov (1803-1853), A. D. Motorny (1891-1964) ja muut.

Proseduuri ongelman ratkaisemiseksi Delambre-menetelmällä

1. Laske suunnan suuntakulma aloituspisteestä 1 määritettyyn pisteeseen "0" seuraavan kaavan mukaan: [4]

$\mathrm {tg} \alpha _{1-0}={\frac {\Delta Y_{2-1}*{\operaattorinimi {ctg} \beta _{1))+\Delta Y_{1- 3}*{\operaattorin nimi {ctg} \beta _{2}}-x_{2}+x_{3}}{\Delta X_{2-1}*{\operaattorinimi {ctg} \beta _{1}} +\Delta X_{1-3}*{\operaattorinimi {ctg} \beta _{2}}+y_{2}-y_{3}}}$ .

2. Määritä suuntien suuntakulmat muista lähtöpisteistä - 2, 3, 4.

${\displaystyle \mathrm {tg} \alpha _{2-0}=a_{1-0}+\beta _{1))$

${\displaystyle \mathrm {tg} \alpha _{3-0}=a_{1-0}+\beta _{2))$

${\displaystyle \mathrm {tg} \alpha _{4-0}=a_{1-0}+\beta _{3))$

3. Laske pisteen P koordinaatit kahdessa yhdistelmässä lähtöpisteistä määritettyyn pisteeseen P suuntakulmien tangenttien tai kotangenttien kaavoilla. Toinen yhdistelmä on riippumaton ja ohjattava.

I yhdistelmä

${\displaystyle \mathrm {x} _{0}={\frac {x_{1}*{\operaattorinimi {tg} \alpha _{1-0}}-x_{2}*{\operaattorinimi {tg} \ alfa _{2-0}}-y_{1}+y_{2}}{\operaattorinimi {tg} \alpha _{1-0}-\operaattorinimi {tg} \alpha _{2-0))))$ .

${\displaystyle \mathrm {y'} _{0}={y_{1}+\Delta X_{1-0}*{\operaattorinimi {tg} \alpha _{1-0))))$ .

${\displaystyle \mathrm {y''} _{0}={y_{2}+\Delta X_{2-0}*{\operaattorinimi {tg} \alpha _{2-0))))$ .

II yhdistelmä

${\displaystyle \mathrm {x} _{0}={\frac {x_{3}*{\operaattorinimi {tg} \alpha _{3-0}}-x_{4}*{\operaattorinimi {tg} \ alfa _{4-0}}-y_{3}+y_{4}}{\operaattorinimi {tg} \alpha _{3-0}-\operaattorinimi {tg} \alpha _{4-0))))$ .

${\displaystyle \mathrm {y'} _{0}={y_{3}+\Delta X_{3-0}*{\operaattorinimi {tg} \alpha _{3-0))))$ .

${\displaystyle \mathrm {y''} _{0}={y_{4}+\Delta X_{4-0}*{\operaattorinimi {tg} \alpha _{4-0))))$ .

Muistiinpanot

↑ Divisioonan tykistöpatterin ryhmän komentajan käsikirja. - Moskova: Puolustusvoimien kansankomissariaatin sotilasjulkaisu, 1943.
↑ V.D. Bolshakov, E.B. Klyushin, I.Yu. Vasyutinskiy Toimittanut V.P. Savinnykh ja V.R. Jaštšenko. [Yleiset periaatteet topografisten ja geodeettisten mittausten suunniteltu-korkeusperustelun luomiseksi 4.2 Geodeettinen mittausverkko] // Geodesiatutkimus ja teknisten rakenteiden suunnittelu. - Moskova: "Nedra", 1991. - S. 79. - 237 s.
↑ N. L.S. Vittu. Potenot'n ongelma // "Quantum" : tieteellinen-pop. Fys.-Math. -lehteä - M . : "Nauka" , 1973. - Nro 4 . - S. 30-34 . — ISSN 0130-2221 .
↑ Esimerkki 9. Geodeettinen resektio (Potenot-ongelma) - Geodeettinen tuki rakentamiseen . Haettu 28. joulukuuta 2019. Arkistoitu alkuperäisestä 7. heinäkuuta 2021. (määrätön)

Kirjallisuus

Motorny A. D. Potenot'n ongelma (analyyttinen ratkaisu) / / LPI:n tieteelliset muistiinpanot, geodeettinen sarja nro 1. - 1949. - Numero. XV. - S. 165-171.
Käänteinen yksittäinen serif // Geodeetin käsikirja. kirja 2 / toim. V. D. Bolshakov ja G. P. Levchuk. - 3. painos reab ja muut .. - Moskova: Nedra, 1985. - S. 194. - 440 s.

Linkit

Geodeettinen terminologia osoitteessa www.geodezist.info